Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
Considere:
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
A) 1,33
B) 6,00
C) 12,00
D) 56,52
E) 113,04
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume de Sólidos de Revolução: Cone e Esfera)
- Álgebra (Manipulação de Equações)
Tema/Objetivo Geral:
Comparação de volumes entre diferentes sólidos geométricos (hemisfério e cone) para determinar uma dimensão desconhecida (altura).
Nível da Questão
Médio – A questão é considerada de nível médio porque não se limita a uma simples aplicação de fórmula. É necessário interpretar que a “taça com formato de hemisfério” corresponde à metade do volume da esfera (cuja fórmula foi fornecida) e, em seguida, montar e resolver uma equação para encontrar a altura do cone.
Gabarito
B) 6,00 – Este valor é a altura correta do cone. Ele é obtido ao calcular o volume da taça hemisférica e, em seguida, igualar esse volume à fórmula do volume do cone para encontrar a altura h.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“…a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de”
1.2 O que está sendo pedido?
O problema nos pede para encontrar a altura h que o champanhe deve atingir na taça em formato de cone para que o seu volume seja exatamente o mesmo que o volume da taça em formato de hemisfério.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é: 1) Calcular o volume da taça 1 (hemisfério). 2) Igualar esse volume à fórmula do volume da taça 2 (cone). 3) Resolver a equação resultante para encontrar a altura h.
1.4 Pergunta de Atenção
Você notou que a fórmula dada é para uma esfera completa, mas a taça 1 é um hemisfério (metade de uma esfera)? Não se esqueça de dividir o volume da esfera por 2! Esse é o detalhe que decide a questão.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
Para resolver este problema, precisamos das fórmulas de volume de dois sólidos geométricos.
- Volume de uma Esfera: O problema nos deu a fórmula para o volume de uma esfera completa.
V_esfera = (4/3) * π * R³
- Volume de um Hemisfério (Metade de uma Esfera): A taça 1 é um hemisfério, então seu volume é metade do volume da esfera.
V_hemisfério = (1/2) * V_esfera = (1/2) * (4/3) * π * R³ = (2/3) * π * R³- Exemplo do cotidiano: Pense em uma laranja (esfera). O volume de meia laranja (hemisfério) é metade do volume da laranja inteira.
- Volume de um Cone: O problema também nos deu a fórmula para o volume de um cone.
V_cone = (1/3) * π * R² * h
Onde:- π (pi) é uma constante matemática.
- R é o raio da base circular.
- h é a altura do cone.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir: As taças originais, que eram como “meias bolas”, quebraram. Para substituí-las, pegaram taças em formato de “casquinha de sorvete” (cone). O pedido dos noivos foi claro: “A quantidade de champanhe nas taças novas tem que ser a mesma das antigas!”. Nossa missão é descobrir até que altura h precisamos encher a taça nova (cone) para que isso aconteça.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Calcular o volume de champanhe na taça hemisférica usando R = 3 cm.
- Montar a equação V_cone = V_hemisfério.
- Substituir os valores conhecidos na equação e resolver para a única variável que falta, a altura h.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos seguir nossa estratégia com os dados do problema.
1. Calculando o Volume da Taça Hemisférica (V_hemisfério):
- Raio (R) = 3 cm.
- Fórmula: V_hemisfério = (2/3) * π * R³
V_hemisfério = (2/3) * π * (3)³
V_hemisfério = (2/3) * π * 27
Para simplificar, podemos dividir 27 por 3 antes de multiplicar:
V_hemisfério = 2 * π * (27 / 3)
V_hemisfério = 2 * π * 9
V_hemisfério = 18π cm³
2. Igualando os Volumes:
A condição do problema é que V_cone = V_hemisfério.
V_cone = 18π
3. Encontrando a Altura (h) do Cone:
Agora, usamos a fórmula do volume do cone e o valor que encontramos.
- Raio do cone (R) = 3 cm.
- Fórmula: V_cone = (1/3) * π * R² * h
18π = (1/3) * π * (3)² * h
18π = (1/3) * π * 9 * h
Simplificando a parte direita da equação:
18π = (9π / 3) * h
18π = 3π * h
Agora, para isolar o h, passamos o 3π que está multiplicando para o outro lado, dividindo:
h = (18π) / (3π)
Podemos cancelar o π em cima e embaixo:
h = 18 / 3
h = 6 cm
4.2 Verificação Intermediária
Calculamos o volume do hemisfério como 18π cm³. Depois, usamos a fórmula do cone para ver qual altura h resultaria nesse mesmo volume, e encontramos h = 6 cm. O processo é lógico e os cancelamentos tornam a álgebra bem simples.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais perigosa é usar o volume da esfera inteira (36π cm³) em vez do hemisfério. Se você fizesse isso, a equação seria 36π = 3π * h, o que resultaria em h = 12 cm. Essa resposta está na alternativa C e foi colocada lá exatamente para pegar quem não leu o enunciado com atenção!
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a uma altura exata de 6 cm. Agora, vamos verificar se esta resposta está entre as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1,33
B) 6,00
C) 12,00
D) 56,52
E) 113,04
5.2 Justificativa Individual
- A) 1,33 (🔴): Incorreto. Provavelmente resultado de um erro de cálculo ou de fórmula.
- B) 6,00 (🟢): Correto. Este é o valor exato que encontramos para a altura h do cone.
- C) 12,00 (🔴): Incorreto. Esta é a resposta da “armadilha”, obtida se você esquecer de dividir o volume da esfera por 2.
- D) 56,52 (🔴): Incorreto. Este valor é aproximadamente 18π. Seria o volume da taça, não a altura.
- E) 113,04 (🔴): Incorreto. Este valor é aproximadamente 36π. Seria o volume da esfera inteira, não a altura.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido calculando-se o volume da taça hemisférica e, em seguida, estabelecendo uma igualdade com a fórmula do volume da taça cônica. A manipulação algébrica dessa igualdade nos permitiu isolar e encontrar o valor da altura h.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B), pois a altura do champanhe na taça cônica deve ser de 6,00 cm.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A chave em geometria espacial é visualizar as formas corretamente. Um “hemisfério” é sempre “metade de uma esfera”. Prestar atenção a esses prefixos e termos é crucial para usar as fórmulas certas
