Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48°C e retirada quando a temperatura for 200°C.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a
A) 100.
B) 108.
C) 128.
D) 130.
E) 150.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Funções (especificamente Funções Definidas por Partes/Sentenças)
- Equação do 1º Grau
- Equação do 2º Grau (Fórmula de Bhaskara)
Tema/Objetivo Geral:
Interpretação e aplicação de uma função definida por partes para resolver um problema prático, envolvendo o cálculo de instantes de tempo e a duração de um intervalo.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio porque exige mais do que uma simples substituição. É necessário primeiro analisar qual “pedaço” da função deve ser usado para cada temperatura, o que envolve um passo de verificação.
Além disso, a resolução requer o cálculo de uma equação linear e uma equação quadrática, sendo que nesta última é preciso descartar uma das raízes com base no domínio da função.
Gabarito
D) 130. – Este valor é a diferença entre o instante de tempo em que a peça é retirada (quando T = 200°C) e o instante de tempo em que é colocada (quando T = 48°C), calculados usando as respectivas fórmulas da função.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a”
1.2 O que está sendo pedido?
O problema nos pede para calcular por quanto tempo, em minutos, a peça de cerâmica ficou dentro do forno.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar dois instantes de tempo: t_entrada (quando a temperatura atinge 48°C) e t_saida (quando a temperatura atinge 200°C). O tempo de permanência será a diferença entre eles: Tempo = t_saida – t_entrada.
1.4 Pergunta de Atenção
Você notou que a “receita” de aquecimento do forno muda quando o tempo t passa de 100 minutos? Saber qual fórmula usar para cada temperatura é o segredo para não errar a questão!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Função Definida por Partes (ou por Sentenças): É uma função que usa diferentes fórmulas para diferentes intervalos do seu domínio. Para saber qual fórmula usar, você precisa primeiro verificar em qual intervalo o seu valor de t se encontra. É como um plano de celular que tem uma tarifa para os primeiros 100 minutos e outra tarifa para o que passar disso.
- Equação do 1º Grau: Uma equação na forma ax + b = c, onde o objetivo é isolar a incógnita x.
- Equação do 2º Grau e Fórmula de Bhaskara: Uma equação na forma ax² + bx + c = 0. Para encontrar os valores de x (as raízes), usamos a Fórmula de Bhaskara:
- Calcular o discriminante (Delta): Δ = b² – 4ac
- Calcular as raízes: x = (-b ± √Δ) / (2a)
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir a situação: o forno tem um cronômetro e um termômetro. A relação entre eles segue duas regras:
- Regra 1 (de 0 a 100 min): A temperatura sobe de forma linear e constante.
- Regra 2 (após 100 min): A temperatura sobe de uma forma diferente, parabólica.
Nossa missão é usar essas regras para descobrir:
- Em que minuto no cronômetro o termômetro marca 48°C (hora de colocar a peça).
- Em que minuto no cronômetro o termômetro marca 200°C (hora de tirar a peça).
- A diferença entre esses dois “horários” é o tempo que a peça ficou no forno.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Verificar qual das duas fórmulas se aplica para 48°C e qual para 200°C. Um bom jeito de fazer isso é calcular a temperatura no “ponto de troca”, em t = 100.
- Calcular o tempo de entrada (t_entrada) igualando a fórmula correta a 48.
- Calcular o tempo de saída (t_saida) igualando a outra fórmula a 200.
- Subtrair os tempos para encontrar a duração.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Encontrar a Temperatura no Ponto de Transição
Vamos ver qual é a temperatura do forno no exato instante em que a regra muda, ou seja, em t = 100 min. Usamos a primeira fórmula, pois ela é válida até t < 100.
T(100) = (7/5) * 100 + 20
T(100) = 7 * 20 + 20
T(100) = 140 + 20 = 160°C
Isso nos diz que temperaturas abaixo de 160°C ocorrem antes de 100 minutos (usando a 1ª fórmula), e temperaturas acima de 160°C ocorrem depois de 100 minutos (usando a 2ª fórmula).
Etapa 2: Calcular o Tempo de Entrada (t_entrada)
A peça entra a 48°C. Como 48°C < 160°C, usamos a primeira fórmula:
T(t) = (7/5)t + 20
48 = (7/5)t + 20
48 – 20 = (7/5)t
28 = (7/5)t
Multiplicamos por 5 dos dois lados para eliminar a fração:
28 * 5 = 7t
140 = 7t
t = 140 / 7
t_entrada = 20 minuto
Etapa 3: Calcular o Tempo de Saída (t_saida)
A peça sai a 200°C. Como 200°C > 160°C, usamos a segunda fórmula:
T(t) = (2/125)t² – (16/5)t + 320
200 = (2/125)t² – (16/5)t + 320
Vamos organizar como uma equação do 2º grau (ax² + bx + c = 0):
0 = (2/125)t² – (16/5)t + 320 – 200
0 = (2/125)t² – (16/5)t + 120
Para eliminar as frações, vamos multiplicar toda a equação por 125:
0 * 125 = (2/125)t² * 125 – (16/5)t * 125 + 120 * 125
0 = 2t² – 16 * 25 * t + 15000
0 = 2t² – 400t + 15000
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
t² – 200t + 7500 = 0
Agora, usamos a Fórmula de Bhaskara (a=1, b=-200, c=7500):
Δ = b² – 4ac = (-200)² – 4 * 1 * 7500 = 40000 – 30000 = 10000
t = (-b ± √Δ) / 2a = (200 ± √10000) / 2 = (200 ± 100) / 2
Temos duas possíveis soluções:
- t₁ = (200 + 100) / 2 = 300 / 2 = 150
- t₂ = (200 – 100) / 2 = 100 / 2 = 50
Etapa 4: Escolher a Resposta Correta
Lembre-se: a segunda fórmula só é válida para t ≥ 100. Portanto, a solução t = 50 não é válida para esta parte do problema. A única resposta correta é:
t_saida = 150 minutos
Etapa 5: Calcular o Tempo de Permanência
Tempo = t_saida – t_entrada
Tempo = 150 – 20
Tempo = 130 minutos
4.2 Verificação Intermediária
Encontramos que a peça entrou aos 20 minutos e saiu aos 150 minutos. A duração total é de 130 minutos. Os passos são lógicos e os cálculos foram verificados.
4.3 Possível armadilha
As duas grandes armadilhas são: 1) Usar a fórmula errada para uma das temperaturas. 2) Ao resolver a equação do 2º grau, encontrar as duas raízes (50 e 150) e não verificar qual delas pertence ao domínio daquela parte da função (t ≥ 100), o que poderia levar a um erro.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo resultou em um tempo de permanência de 130 minutos. Esperamos encontrar este valor exato nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 100.
B) 108.
C) 128.
D) 130.
E) 150.
5.2 Justificativa Individual
- A) 100 (🔴): Incorreto. Este valor corresponde ao ponto de transição da função, não à duração.
- B) 108 (🔴): Incorreto. Não corresponde a nenhum erro de cálculo óbvio.
- C) 128 (🔴): Incorreto. Poderia surgir de um erro de cálculo, talvez subtraindo 22 em vez de 20 de 150.
- D) 130 (🟢): Correto. Este é o resultado exato do nosso cálculo (150 – 20 = 130).
- E) 150 (🔴): Incorreto. Este é o instante de tempo em que a peça é retirada (t_saida), mas a pergunta é sobre o tempo de permanência, ou seja, o intervalo.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Primeiro, determinamos os domínios de aplicação de cada fórmula, calculando a temperatura no ponto de transição (t=100). Em seguida, calculamos o instante de entrada resolvendo a equação linear e o instante de saída resolvendo a equação quadrática, descartando a raiz inválida. A duração foi a diferença entre esses dois instantes.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D), pois o tempo de permanência da peça no forno é de 130 minutos.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas com funções definidas por partes, sempre comece analisando os “limites” dos intervalos. Saber o que acontece nos pontos de transição (como t=100) é a bússola que te guiará para a fórmula correta
