O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados
Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4%, deve ser de aproximadamente
A) 1 mm.
B) 10 mm.
C) 17 mm.
D) 160 mm.
E) 167 mm.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Área de Retângulo)
- Aritmética (Porcentagem, Regra de Três)
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de dimensões de uma figura geométrica (retângulo) com base em uma proporção de área em relação a uma figura maior.
Nível da Questão
Fácil – A questão é considerada fácil pois exige apenas a aplicação direta de duas fórmulas básicas (área do retângulo e cálculo de porcentagem) em uma sequência lógica e sem a necessidade de conceitos mais complexos ou manipulações algébricas avançadas.
Gabarito
D) 160 mm. – Este valor é obtido ao se calcular a área total da página, encontrar 4% dessa área e, em seguida, determinar o lado desconhecido do retângulo menor para que ele possua essa área exata.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4%, deve ser de aproximadamente“
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para encontrarmos o valor da medida desconhecida ‘x’ (em milímetros) do retângulo menor.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é determinar a medida ‘x’ para que a área do retângulo pequeno (de lados 26 mm e x mm) seja exatamente 4% da área total da página do jornal (de lados 260 mm e 400 mm).
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a chave do problema é traduzir a frase “seja fidedigna à porcentagem” em uma igualdade matemática? Isso significa que devemos forçar a Área do Retângulo Pequeno a ser igual a 4% da Área do Retângulo Grande.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
Para resolver esta questão, precisamos de dois conceitos muito simples:
- Área de um Retângulo:
- O que é? É a medida da superfície de uma figura retangular.
- Como calcular? Multiplicando a medida da sua base pela sua altura (ou comprimento pela largura).
- Fórmula: A = base × altura
- Exemplo do cotidiano: Para saber a área de um tampo de mesa de 2 metros de comprimento por 1 metro de largura, fazemos 2 * 1 = 2 metros quadrados.
- Cálculo de Porcentagem:
- O que é? É uma forma de expressar uma proporção ou uma parte de um todo, dividindo-o em 100 partes.
- Como calcular “p%” de um valor “V”? Multiplicamos a fração (p/100) pelo valor V.
- Fórmula: Valor da Porcentagem = (p / 100) × V
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos simplificar a história: a página do jornal é um terreno grande. A propaganda diz que a área dos “outros jornais” ocupa 4% desse terreno. Esse pedacinho de terra dos “outros jornais” é um retângulo pequeno. Nós sabemos a largura dele (26 mm), mas não o comprimento (‘x’). Nossa missão é descobrir qual deve ser o comprimento ‘x’ para que o tamanho do pedacinho seja, de fato, 4% do terreno todo.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Calcular a área total da página do jornal (o retângulo grande).
- Calcular quanto vale 4% dessa área total. Esse resultado será a área que o retângulo pequeno deve ter.
- Usar a área do retângulo pequeno e a medida de um de seus lados (26 mm) para descobrir a medida do lado que falta (x).
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar nossa estratégia, passo a passo.
1. Calculando a Área Total da Página:
A página é um retângulo de 260 mm por 400 mm.
Área_total = base × altura
Área_total = 260 × 400
Área_total = 104.000 mm²
2. Calculando a Área que Corresponde a 4%:
Esta é a área que o retângulo pequeno precisa ter para que a propaganda seja verdadeira.
Área_pequeno = 4% de Área_total
Área_pequeno = (4 / 100) × 104.000
Área_pequeno = 0,04 × 104.000
Área_pequeno = 4.160 mm²
3. Encontrando a Medida do Lado ‘x’:
Sabemos que a área do retângulo pequeno é 26 × x. E agora sabemos que essa área deve ser de 4.160 mm². Então, podemos montar a equação:
26 × x = 4.160
Para encontrar ‘x’, basta passar o 26, que está multiplicando, para o outro lado, dividindo:
x = 4.160 / 26
x = 160 mm
4.2 Verificação Intermediária
Calculamos que o lado ‘x’ deve ser 160 mm. Vamos verificar se isso faz sentido: a área do retângulo pequeno seria 26 mm × 160 mm = 4.160 mm². A área total é 104.000 mm². A proporção é 4.160 / 104.000 = 0,04, que é exatamente 4%. Os cálculos estão corretos.
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha comum seria tentar fazer uma proporção direta entre os lados, em vez de usar as áreas. Por exemplo, pensar que “x está para 400 assim como 26 está para 260”. Isso estaria incorreto, pois a relação de porcentagem foi dada para as áreas, não para as medidas lineares.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou ao resultado exato de x = 160 mm. Agora, vamos procurar este valor nas alternativas fornecidas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1 mm.
B) 10 mm.
C) 17 mm.
D) 160 mm.
E) 167 mm.
5.2 Justificativa Individual
- A), B), C) (🔴): Incorretos. Esses valores são muito pequenos e não correspondem ao resultado do cálculo correto.
- D) 160 mm. (🟢): Correto. Este é exatamente o valor que encontramos no nosso passo a passo (4.160 / 26 = 160).
- E) 167 mm. (🔴): Incorreto. Este valor pode surgir de um erro de cálculo na divisão final. Se alguém arredondasse 26 para 25, por exemplo, o resultado seria próximo (4160/25 = 166,4), mas o cálculo exato leva a 160.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para resolver o problema, primeiro calculamos a área total da página. Em seguida, determinamos qual seria o valor correspondente a 4% dessa área. Por fim, usamos essa área alvo e o lado conhecido do retângulo menor para encontrar, por meio de uma equação simples, o lado desconhecido ‘x’.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D), pois a medida do lado ‘x’ deve ser de 160 mm.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se sempre: quando um problema relaciona figuras por uma porcentagem de área, o primeiro passo é sempre calcular as áreas envolvidas. Não caia na armadilha de tentar relacionar os lados diretamente
