Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade.
Para que isso ocorra, Dona Maria deverá
A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial
- Cálculo de Volume de Cilindros
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo e comparação de volumes de cilindros para resolver um problema prático do cotidiano.
Nível da Questão
Fácil – A questão é considerada fácil pois exige apenas a aplicação direta da fórmula de volume do cilindro e operações aritméticas básicas (multiplicação e divisão). Não há conceitos complexos ou passos intermediários que exijam grande abstração.
Gabarito
A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. – Esta alternativa está correta porque o volume total de café necessário (160π cm³) é exatamente a metade do volume total da leiteira (320π cm³).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá…”
1.2 O que está sendo pedido?
O problema pede para determinarmos a ação correta que Dona Maria deve tomar para ter a quantidade exata de café para servir 20 pessoas, enchendo o copo de cada uma apenas até a metade.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular o volume total de café necessário para os 20 meios copos e, em seguida, comparar esse volume com a capacidade da leiteira para decidir se ela deve ser enchida até a metade, por completo, ou se será necessário mais de uma leiteira.
1.4 Pergunta de Atenção
Você prestou atenção que o problema informa o diâmetro dos cilindros e não o raio? Lembre-se que a fórmula do volume usa o raio, que é sempre a metade do diâmetro!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
Para resolver esta questão, precisamos dominar o conceito de volume de um cilindro.
- Cilindro: Uma figura geométrica espacial com duas bases circulares paralelas e de mesmo tamanho. A leiteira e os copinhos são exemplos do cotidiano.
- Raio (r): A distância do centro de um círculo até sua borda. É sempre metade do diâmetro.
- Fórmula do Volume do Cilindro: O volume (V) de um cilindro é calculado multiplicando a área da sua base (que é um círculo, cuja área é π·r²) pela sua altura (h).
V = π * r² * h
Onde:- V = Volume
- π (pi) = Uma constante matemática (aproximadamente 3,14)
- r = raio da base do cilindro
- h = altura do cilindro
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos simplificar a história: Dona Maria quer fazer café para 20 amigos. Ela não quer que sobre café, então precisa da medida exata. Cada amigo vai beber meio copinho. Nossa tarefa é ser o “assistente de matemática” dela e dizer quanta água ela precisa colocar na leiteira.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Calcular o volume de um copinho cheio.
- Descobrir o volume de “meio copinho”.
- Multiplicar esse volume por 20 para saber o volume total de café necessário.
- Calcular o volume total da leiteira.
- Comparar o volume necessário com o volume da leiteira para encontrar a resposta.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos seguir nossa estratégia, calculando cada parte.
1. Calculando o volume de UM copinho:
- Diâmetro do copo = 4 cm. Portanto, o raio (r) = 4 / 2 = 2 cm.
- Altura do copo (h) = 4 cm.
- Aplicando a fórmula do volume:
V_copo = π * r² * h
V_copo = π * (2)² * 4
V_copo = π * 4 * 4
V_copo = 16π cm³
2. Calculando o volume necessário por pessoa (metade do copo):
- O enunciado diz para encher os copos “pela metade”.
V_meio_copo = V_copo / 2
V_meio_copo = 16π / 2
V_meio_copo = 8π cm³
3. Calculando o volume total de café para as 20 pessoas:
- São 20 pessoas, cada uma recebendo 8π cm³ de café.
V_total_necessário = 20 * V_meio_copo
V_total_necessário = 20 * 8π
V_total_necessário = 160π cm³
4. Calculando o volume total da leiteira:
- Diâmetro da leiteira = 8 cm. Portanto, o raio (R) = 8 / 2 = 4 cm.
- Altura da leiteira (H) = 20 cm.
- Aplicando a fórmula do volume:
V_leiteira = π * R² * H
V_leiteira = π * (4)² * 20
V_leiteira = π * 16 * 20
V_leiteira = 320π cm³
5. Comparando os volumes:
- Volume necessário = 160π cm³
- Volume da leiteira = 320π cm³
- Podemos ver que 160π é exatamente a metade de 320π.
4.2 Verificação Intermediária
Até aqui, calculamos que o volume de café necessário é de 160π cm³, e a capacidade total da leiteira é de 320π cm³. Isso confirma que a quantidade de café necessária corresponde precisamente à metade da capacidade da leiteira.
4.3 Possível armadilha
Você poderia ter caído na armadilha de esquecer de encher os copos “pela metade”. Se calculasse o volume para 20 copos cheios (20 * 16π = 320π), você concluiria que precisaria encher a leiteira inteira, o que levaria à alternativa B, que está incorreta. Outro erro comum é usar o diâmetro no lugar do raio, o que alteraria todos os resultados.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossos cálculos mostram que para obter 160π cm³ de café, Dona Maria precisa usar metade da capacidade de sua leiteira de 320π cm³. Portanto, esperamos encontrar uma alternativa que diga para “encher a leiteira até a metade”.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
5.2 Justificativa Individual
- A) (🟢) Correta. A ação (“encher a leiteira até a metade”) está certa, pois 160π é metade de 320π. A justificativa também está correta: o volume da leiteira (320π) dividido pelo volume do copo (16π) é 320/16 = 20.
- B) (🔴) Incorreta. Embora a justificativa (“volume 20 vezes maior”) esteja correta, a ação (“encher a leiteira toda”) resultaria no dobro de café necessário, gerando desperdício.
- C) (🔴) Incorreta. Tanto a ação (“encher a leiteira toda”) quanto a justificativa (“volume 10 vezes maior”) estão erradas. O volume da leiteira é 20 vezes maior que o do copo.
- D) (🔴) Incorreta. Encher duas leiteiras seria uma quantidade absurda de café (640π cm³). A ação e a justificativa estão erradas.
- E) (🔴) Incorreta. Encher cinco leiteiras é ainda mais exagerado. Ação e justificativa incorretas.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Nós calculamos o volume de café para 20 meios copos, que totalizou 160π cm³. Em seguida, calculamos a capacidade máxima da leiteira, que é 320π cm³. Ao comparar os dois valores, ficou claro que o volume necessário é exatamente a metade da capacidade da leiteira.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A), pois Dona Maria deve encher a leiteira até a metade para obter a quantidade exata de café, sem desperdício.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que um problema de geometria mencionar diâmetro, sua primeira ação deve ser dividi-lo por 2 para encontrar o raio antes de aplicar qualquer fórmula de área ou volume.
