No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.
Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm.
Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?
A) 1 : 20
B) 1 : 100
C) 1 : 200
D) 1 : 1 000
E) 1 : 2 000
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática Básica (Razão e Proporção, Conversão de Unidades de Medida, Operações com Decimais)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Calcular a razão entre duas grandezas com unidades de medida diferentes, realizando a conversão necessária para a comparação.
📊 Nível da Questão: Fácil.
Por quê? A questão envolve conceitos matemáticos fundamentais e um procedimento direto: converter uma das medidas para a unidade da outra e, em seguida, montar e simplificar a fração que representa a razão. Não há pegadinhas ou raciocínios complexos.
✅ Gabarito: Alternativa E.
Resumo: Primeiro, convertemos o diâmetro do telescópio de metros para centímetros (42 m = 4200 cm). Depois, montamos a razão entre o diâmetro do olho humano e o do telescópio (2,1 / 4200) e simplificamos a fração até chegar a 1/2000, que é representada como 1 : 2 000.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?”
O que está sendo pedido?
A questão pede para calcularmos a razão entre duas medidas: o diâmetro do olho humano (2,1 cm) e o diâmetro do espelho do telescópio (42 m).
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é encontrar a proporção entre o tamanho do olho e o tamanho do espelho, expressa na forma “1 : X”. Para isso, teremos que igualar as unidades de medida antes de fazer a divisão.
🧠 Pergunta de Atenção: Você pode comparar diretamente centímetros com metros? Não! Antes de qualquer cálculo de razão, a primeira regra é: tudo na mesma unidade!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Razão:
- O que é: É uma forma de comparar duas grandezas através de uma divisão (fração). A ordem importa! A razão “entre A e B” é escrita como A/B.
- No problema: A questão pede a razão “entre o diâmetro do olho humano e o diâmetro do telescópio”. Então, a fração será:
(Diâmetro do Olho) / (Diâmetro do Telescópio)
- Conversão de Unidades de Medida (Metro para Centímetro):
- Relação Fundamental: 1 metro (m) é igual a 100 centímetros (cm).
- Como converter: Para converter metros para centímetros, basta multiplicar o valor em metros por 100.
- Exemplo: 3 metros = 3 × 100 = 300 centímetros.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos dois círculos: um bem pequeno (o olho humano) e um gigantesco (o espelho do telescópio). Queremos saber quantas vezes o espelho é maior que o olho. Mas tem um detalhe: o tamanho do olho foi dado em centímetros e o do espelho em metros. Primeiro, precisamos “traduzir” o tamanho do espelho para centímetros para podermos comparar as duas medidas. Depois, é só montar a fração e simplificar para encontrar a resposta no formato “1 para tanto”.
Estratégia Geral 🗺️
- Listar os dados do problema.
- Converter a medida do diâmetro do telescópio de metros (m) para centímetros (cm).
- Montar a razão (fração) na ordem correta pedida pelo enunciado.
- Simplificar a fração até que o numerador seja 1.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
- Listar os Dados:
- Diâmetro do olho humano = 2,1 cm
- Diâmetro do telescópio = 42 m
- Converter as Unidades (Passo Crítico):
Precisamos que ambas as medidas estejam na mesma unidade. Vamos converter metros para centímetros.- Sabemos que 1 m = 100 cm.
- Então, 42 m = 42 × 100 cm = 4200 cm.
- Verificação Intermediária: Agora temos os dois valores na mesma unidade: 2,1 cm e 4200 cm.
- Montar a Razão:
O enunciado pede a razão entre o olho e o telescópio. Então a montagem é:
Razão = 2,1 / 4200 - Simplificar a Fração:
Trabalhar com números decimais na fração pode ser complicado. Vamos eliminar a vírgula multiplicando o numerador e o denominador por 10:- Razão = (2,1 × 10) / (4200 × 10) = 21 / 42000
Agora, simplificamos a fração 21/42000. Podemos notar que 42 é o dobro de 21. - Dividindo o numerador e o denominador por 21:
21 ÷ 21 = 1
42000 ÷ 21 = 2000 - A fração simplificada é 1 / 2000.
- Razão = (2,1 × 10) / (4200 × 10) = 21 / 42000
- Escrever no Formato Solicitado:
A fração 1/2000 pode ser escrita na forma de razão como 1 : 2 000.
A Armadilha Comum 🚨
A principal e quase única armadilha nesta questão é esquecer de converter as unidades. Se um aluno tentasse calcular a razão 2,1 / 42 diretamente, chegaria a um resultado completamente diferente e errado. Outra armadilha menor seria inverter a ordem da razão (colocar o telescópio no numerador), o que também levaria a uma resposta incorreta.
Fechamento e Expectativa
O cálculo resultou em uma razão de 1 : 2 000. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
A) 1 : 20 (🔴) Incorreta.
B) 1 : 100 (🔴) Incorreta.
C) 1 : 200 (🔴) Incorreta.
D) 1 : 1 000 (🔴) Incorreta.
E) 1 : 2 000 (🟢) Correta. Corresponde exatamente ao resultado do nosso cálculo.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
Para encontrar a razão solicitada, primeiro garantimos que ambas as medidas estivessem na mesma unidade, convertendo 42 metros para 4200 centímetros. Em seguida, montamos a fração representando a razão entre o diâmetro do olho (2,1 cm) e o diâmetro do telescópio (4200 cm). Simplificando a fração 2,1 / 4200, chegamos ao resultado 1 / 2000, que é expresso como a razão 1 : 2 000.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a E.
Resumo Final para Revisão 🔍
Regra de ouro para problemas de razão e proporção: Unidades iguais antes de qualquer cálculo! A conversão de unidades é o primeiro e mais importante passo.
