Questão 143, caderno cinza do ENEM 2011 PPL

Um programador visual deseja modificar uma imagem, aumentando seu comprimento e mantendo sua largura. As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a imagem original e a transformada pela duplicação do comprimento.

Para modelar todas as possibilidades de transformação no comprimento dessa imagem, o programador precisa descobrir os padrões de todas as retas que contêm os segmentos que contornam os olhos, o nariz e a boca e, em seguida, elaborar o programa.
No exemplo anterior, o segmento A1 B1 da figura 1, contido na reta r₁ , transformou-se no segmento A₂B₂ da figura 2, contido na reta r₂ .
Suponha que, mantendo constante a largura da imagem, seu comprimento seja multiplicado por n, sendo n um número inteiro e positivo, e que, dessa forma, a reta r₁ sofra as mesmas transformações. Nessas condições, o segmento A_n B_n estará contido na reta r_n .

A equação algébrica que descreve r_n , no plano cartesiano, é:

A) x + ny = 3n.

B) x − ny = − n.

C) x − ny = 3n.

D) nx + ny = 3n.

E) nx + 2ny = 6n.

Resolução em Texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Geometria Analítica (Equação da Reta)
Álgebra (Generalização de Padrões)
Interpretação de Gráficos e Enunciados

🎯 Tema/Objetivo Geral: Determinação da equação geral de uma reta a partir da observação de um padrão de transformação geométrica no plano cartesiano.

📊 Nível da Questão: Médio.

Por quê? A questão exige um raciocínio de generalização. É preciso observar o que acontece com os pontos da reta da Figura 1 para a Figura 2, entender o padrão de transformação e, então, generalizá-lo para um fator n qualquer, para finalmente encontrar a equação que descreve essa reta genérica.

✅ Gabarito: Alternativa A.

Resumo: Observando a transformação da reta r₁ para r₂, percebe-se que a interceptação com o eixo Y se mantém (y=3), enquanto a interceptação com o eixo X é multiplicada pelo fator de aumento do comprimento (x=3 vira x=6). Generalizando, para um fator n, a reta rₙ passará pelos pontos (3n, 0) e (0, 3). A equação x + ny = 3n é a única, entre as alternativas, que é satisfeita por ambos os pontos.

Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Transcrição Essencial 📌
“Nessas condições, o segmento AₙBₙ estará contido na reta rₙ. A equação algébrica que descreve rₙ, no plano cartesiano, é…”

O que está sendo pedido?
A questão pede para encontrarmos a equação geral da reta rₙ, que representa a transformação da reta r₁ quando o comprimento da figura é multiplicado por um fator n.

Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é:

Descobrir o padrão da transformação: o que muda e o que fica constante na reta quando o comprimento da imagem é alterado?
Generalizar esse padrão para um fator n.
Determinar as coordenadas de dois pontos da reta genérica rₙ.
Encontrar a equação, entre as alternativas, que contenha esses dois pontos.

🧠 O enunciado diz que a largura se mantém constante e o comprimento é multiplicado. Como isso afeta os pontos onde a reta cruza os eixos X e Y? A largura está associada ao eixo Y, e o comprimento ao eixo X.

Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários

Definição de Termos 🔖

Equação Geral da Reta: Uma equação que descreve todos os pontos (x, y) que pertencem a uma reta. A forma mais comum é ax + by = c.
Interceptos de uma Reta: São os pontos onde a reta cruza os eixos coordenados.
- Intercepto Y: O ponto onde a reta cruza o eixo Y. Nesse ponto, a coordenada x é sempre zero.
- Intercepto X: O ponto onde a reta cruza o eixo X. Nesse ponto, a coordenada y é sempre zero.
Encontrar a Equação a partir de Dois Pontos: Se uma reta passa por dois pontos, podemos encontrar sua equação. Uma forma prática em questões de múltipla escolha é testar os pontos nas equações dadas nas alternativas.

Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

Contextualização Simplificada 💬
Imagine que a figura é uma “carinha” desenhada em uma malha elástica.

Figura 1: A carinha original. Uma das linhas do seu sorriso está sobre a reta r₁.
Figura 2: A gente esticou a carinha na horizontal (dobrou o comprimento), mas não na vertical (manteve a largura). A linha do sorriso agora está sobre a reta r₂.

A questão quer que a gente encontre uma “fórmula mágica” (a equação da reta) que funcione para qualquer “esticada” horizontal por um fator n.

Estratégia Geral 🗺️

Encontrar os pontos onde r₁ cruza os eixos X e Y.
Encontrar os pontos onde r₂ cruza os eixos X e Y.
Observar o padrão: qual coordenada mudou e qual ficou igual?
Generalizar para uma “esticada” de fator n, encontrando os interceptos de rₙ.
Testar esses interceptos nas equações das alternativas.

Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio

Passo a Passo Detalhado 👣

1. Análise da Reta r₁ (Figura 1):

Intercepto Y: A reta r₁ cruza o eixo Y no ponto onde y = 3. As coordenadas são (0, 3).
Intercepto X: A reta r₁ cruza o eixo X no ponto onde x = 3. As coordenadas são (3, 0).

2. Análise da Reta r₂ (Figura 2):

O comprimento foi duplicado (n=2), a largura se manteve.
Intercepto Y: A reta r₂ continua cruzando o eixo Y no mesmo ponto (a “altura” não mudou). O ponto é (0, 3).
Intercepto X: A coordenada x do intercepto foi duplicada junto com o comprimento. 3 * 2 = 6. O ponto é (6, 0).

3. Generalização para a Reta rₙ:

O comprimento é multiplicado por n.
Intercepto Y: Continua o mesmo. O ponto é (0, 3).
Intercepto X: A coordenada x é multiplicada por n. 3 * n = 3n. O ponto é (3n, 0).

4. Testar os Pontos de rₙ nas Alternativas:
Agora temos dois pontos que devem pertencer à reta rₙ: P₁ = (3n, 0) e P₂ = (0, 3). Vamos testá-los nas equações.

Teste com o ponto P₁ = (3n, 0): x = 3n, y = 0
- A) x + ny = 3n → 3n + n*0 = 3n → 3n = 3n (OK)
- B) x – ny = -n → 3n – n*0 = -n → 3n = -n (Falso, a menos que n=0, o que não é o caso).
- C) x – ny = 3n → 3n – n*0 = 3n → 3n = 3n (OK)
- D) nx + ny = 3n → n*(3n) + n*0 = 3n → 3n² = 3n (Falso, a menos que n=1).
- E) nx + 2ny = 6n → n*(3n) + 2n*0 = 6n → 3n² = 6n (Falso, a menos que n=2).
Verificação Intermediária: Sobraram as alternativas A e C. Precisamos testar o segundo ponto para decidir.
Teste com o ponto P₂ = (0, 3): x = 0, y = 3
- A) x + ny = 3n → 0 + n*3 = 3n → 3n = 3n (OK)
- C) x – ny = 3n → 0 – n*3 = 3n → -3n = 3n (Falso, a menos que n=0).

Conclusão: A única equação que é satisfeita pelos dois pontos da reta rₙ é a da alternativa A.

Passo 5: Análise das Alternativas

🟢 A) x + ny = 3n. Correta. Como verificado, ambos os pontos (3n, 0) e (0, 3) satisfazem essa equação.

🔴 B) x − ny = − n. Incorreta. Falha no teste com o ponto (3n, 0).

🟡 C) x − ny = 3n. A que mais confunde. Passa no primeiro teste, mas falha no segundo.

🔴 D) nx + ny = 3n. Incorreta. Falha no teste com o ponto (3n, 0).

🔴 E) nx + 2ny = 6n. Incorreta. Falha no teste com o ponto (3n, 0).

Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

Resumo do Raciocínio 📝
A resolução do problema se baseia na generalização de um padrão geométrico. Observando as figuras 1 e 2, percebe-se que a transformação de r₁ para r₂ mantém o intercepto no eixo Y (y=3) e multiplica o intercepto no eixo X por 2 (de x=3 para x=6). Generalizando para um fator n, a reta rₙ passará pelos pontos (3n, 0) e (0, 3). Para encontrar a equação de rₙ, testamos esses dois pontos nas alternativas. A única equação que satisfaz ambos os pontos é x + ny = 3n, pois:

Para (3n, 0): (3n) + n(0) = 3n, o que é verdadeiro.
Para (0, 3): (0) + n(3) = 3n, o que também é verdadeiro.

Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a A.

Resumo Final para Revisão
Em problemas de geometria analítica com transformações, a estratégia mais segura é analisar o que acontece com os pontos-chave, como os interceptos dos eixos. Uma vez que você entende o padrão e o generaliza, pode testar os pontos generalizados nas equações fornecidas para encontrar a resposta correta de forma rápida e segura.

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