A figura que segue é formada por 5 quadrados congruentes, cuja medida do lado é L, e um quadrado ABCD com vértices em um único vértice de quatro dos cinco quadrados.
A área do quadrado ABCD é equivalente à área de um retângulo de lados:
A) 2L e 3L.
B) 3L e 1L.
C) 3L e 3L.
D) 4L e 1L.
E) 5L e 1L.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Quadrado, Triângulo Retângulo, Área)
- Teorema de Pitágoras
- Álgebra Básica
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo da área de um quadrado cujos vértices estão posicionados em uma malha de outros quadrados, utilizando o Teorema de Pitágoras.
📊 Nível da Questão: Fácil.
- Por quê? A questão é uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras para encontrar o lado (ao quadrado) de uma figura e, consequentemente, sua área. O raciocínio é visual e o cálculo é simples.
✅ Gabarito: Alternativa E.
- Resumo: Para encontrar a área do quadrado ABCD, primeiro calculamos o quadrado de um de seus lados, como o lado AD. Observa-se que AD é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos podem ser medidos na malha de quadrados (um cateto mede L e o outro 2L). Pelo Teorema de Pitágoras, AD² = (2L)² + L² = 5L². Como a área do quadrado é lado², a área de ABCD é 5L², que é equivalente à área de um retângulo de lados 5L e 1L.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“A área do quadrado ABCD é equivalente à área de um retângulo de lados…”
O que está sendo pedido?
A questão pede para calcularmos a área do quadrado ABCD e expressarmos essa área como o produto de dois lados, que seriam os lados de um retângulo equivalente.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é:
- Encontrar uma maneira de calcular o comprimento do lado do quadrado ABCD.
- Como a área do quadrado é lado², na verdade só precisamos encontrar lado².
- Expressar o valor de lado² como um produto (fator 1) * (fator 2), que corresponderá a uma das alternativas.
🧠 Olhe para o lado AD do quadrado inclinado. Você consegue enxergar um triângulo retângulo onde AD é a hipotenusa e os catetos estão alinhados com a grade de quadrados?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Quadrados Congruentes: Quadrados que têm exatamente o mesmo tamanho (lados iguais). No problema, o lado de cada um dos 5 quadrados da malha mede L.
- Área de um Quadrado: Área = lado * lado = lado²
- Área de um Retângulo: Área = comprimento * largura
- Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (c) é igual à soma dos quadrados dos catetos (a e b).
- c² = a² + b²
- Esta é a ferramenta perfeita para encontrar o comprimento (ou o quadrado do comprimento) de um segmento de reta que está na diagonal de uma malha quadriculada.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos um “quadradão” (ABCD) desenhado torto em cima de um “piso” feito de 5 “azulejos” quadrados menores. Cada azulejo tem lado L. A gente precisa descobrir a área do quadradão. A dica é usar o Teorema de Pitágoras. Depois de achar a área, a gente tem que ver qual das opções de retângulo tem a mesma área.
Estratégia Geral 🗺️
- “Desenhar” um triângulo retângulo auxiliar usando as linhas da grade, onde a hipotenusa seja um dos lados do quadrado ABCD (por exemplo, o lado AD).
- Medir os catetos desse triângulo em termos de L.
- Aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar AD², que já é a área do quadrado.
- Comparar a área encontrada com as áreas dos retângulos das alternativas.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Construir o Triângulo Retângulo:
Vamos focar no lado AD do quadrado ABCD. Podemos formar um triângulo retângulo imaginário com os catetos alinhados à grade.
- O vértice A está em uma posição.
- O vértice D está duas unidades L para baixo e uma unidade L para a direita em relação ao vértice A.
- Podemos visualizar isso como um triângulo retângulo com:
- Cateto vertical: 2L
- Cateto horizontal: L
- Hipotenusa: AD
2. Aplicar o Teorema de Pitágoras:
- hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂²
- AD² = (2L)² + (L)²
3. Calcular o valor de AD² (que é a Área):
- AD² = 4L² + 1L²
- AD² = 5L²
- A Área do quadrado ABCD é lado² = AD² = 5L².
4. Encontrar o Retângulo Equivalente:
Agora, precisamos encontrar qual alternativa, ao multiplicar os lados, resulta em 5L².
- A) 2L * 3L = 6L²
- B) 3L * 1L = 3L²
- C) 3L * 3L = 9L²
- D) 4L * 1L = 4L²
- E) 5L * 1L = 5L²
Conclusão: A área do quadrado ABCD é equivalente à de um retângulo de lados 5L e 1L.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha seria errar na medição dos catetos na grade (confundir 1L com 2L) ou errar o cálculo do quadrado (2L)², pensando que é 2L² em vez de 4L².
Procuramos a alternativa que, multiplicada, dê 5L².
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 2L e 3L. (Área = 6L²)
Incorreta.
🔴 B) 3L e 1L. (Área = 3L²)
Incorreta.
🔴 C) 3L e 3L. (Área = 9L²)
Incorreta.
🔴 D) 4L e 1L. (Área = 4L²)
Incorreta.
🟢 E) 5L e 1L. (Área = 5L²)
Correta. A área do retângulo (5L * 1L = 5L²) é igual à área do quadrado ABCD que calculamos.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
Para determinar a área do quadrado ABCD, utilizamos o Teorema de Pitágoras para encontrar o quadrado de um de seus lados (por exemplo, AD). Construindo um triângulo retângulo auxiliar com catetos sobre as linhas da grade, observamos que os catetos medem L e 2L. Pelo teorema, o quadrado da hipotenusa (que é o lado do quadrado ao quadrado, ou seja, a área) é AD² = (L)² + (2L)² = L² + 4L² = 5L². A área do quadrado ABCD é, portanto, 5L². Dentre as alternativas, a área de um retângulo de lados 5L e 1L é 5L × 1L = 5L², que é equivalente.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a E.
Resumo Final para Revisão
Sempre que você precisar encontrar o comprimento de uma linha diagonal em uma malha quadriculada, o Teorema de Pitágoras é o seu melhor amigo. Desenhe o triângulo retângulo “escondido” e aplique a fórmula.
