Numa sementeira, cinco canteiros quadrados serão preparados para plantar, em cada um, dois tipos de sementes: A e B. Os canteiros estão representados segundo as figuras:
Suponha que cada canteiro tem 1 m² de área e que nas regiões sombreadas de cada canteiro serão plantadas as sementes do tipo A. Qual o total da área, em m², reservada para as sementes do tipo B?
A) 1,25
B) 2
C 2,5
D 3
E 5
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana
- Cálculo de Área (Quadrados e Triângulos)
- Interpretação de Figuras (Decomposição de Formas)
Tema/Objetivo Geral: Cálculo de áreas compostas por meio da soma de áreas parciais.
Nível da Questão
Médio – Embora os cálculos para cada figura sejam simples, a questão exige a análise de cinco figuras diferentes, a correta identificação da área a ser calculada (a não sombreada) e a soma de todos os resultados. A necessidade de organização e a análise de múltiplas etapas elevam a dificuldade para além do nível fácil.
Gabarito
D) 3 – A alternativa está correta porque a soma das áreas brancas (reservadas para as sementes do tipo B) de todos os cinco canteiros é exatamente 3 m².
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Qual o total da área, em m², reservada para as sementes do tipo B?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para calcular a área total das regiões não sombreadas (brancas) de todos os cinco canteiros juntos, pois é nessas áreas que as sementes do tipo B serão plantadas.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular a área branca de cada um dos cinco canteiros e, em seguida, somar esses cinco valores para obter a área total destinada às sementes do tipo B.
1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembrou que, como a área total de cada canteiro é exatamente 1 m², podemos simplificar muito os cálculos pensando em frações (metade, um quarto, três quartos)? Essa percepção torna a questão bem mais rápida!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver esta questão, precisamos de alguns conceitos básicos de geometria:
- Área de um Quadrado: É o espaço contido dentro de seus lados. A fórmula é:
- Área = Lado × Lado
- No problema, a área é dada como 1 m². Isso significa que cada canteiro é um quadrado de 1 metro por 1 metro.
- Decomposição de Figuras: É a técnica de quebrar uma forma complexa em formas mais simples (como quadrados menores ou triângulos) para facilitar o cálculo da área.
- Área por Fração: Quando uma figura é dividida em partes iguais, podemos calcular a área de uma região simplesmente descobrindo qual fração do todo ela representa.
- Exemplo do cotidiano: Se você come metade de uma pizza, a área que você comeu é 1/2 da área total da pizza. Vamos usar essa ideia para os canteiros.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “mastigar” o problema: temos cinco canteiros quadrados, cada um com 1 m² de área. Em cada um, a parte cinza é para plantar a semente A, e a parte branca é para a semente B. Precisamos descobrir a área total de “terra branca” que teremos para plantar a semente B, somando os pedaços brancos de todos os cinco canteiros.
3.2 Estratégia Geral
Nossa estratégia será analisar cada canteiro individualmente, determinar a fração da área que é branca e, como a área total de cada um é 1 m², essa fração já será o valor da área. Por fim, somaremos os cinco valores encontrados.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos calcular a área branca (Área B) de cada canteiro.
- Canteiro I:
As duas diagonais dividem o quadrado em 4 triângulos de mesmo tamanho. Dois desses triângulos são brancos.
Fração branca = 2 / 4 = 1/2
Área B_I = (1/2) * 1 m² = 0,5 m²
- Canteiro II:
A diagonal divide o quadrado em 2 triângulos de mesmo tamanho. Um desses triângulos é branco.
Fração branca = 1 / 2
Área B_II = (1/2) * 1 m² = 0,5 m²
- Canteiro III:
O canteiro é dividido em 4 quadrados menores e iguais. Três desses quadrados são brancos.
Fração branca = 3 / 4
Área B_III = (3/4) * 1 m² = 0,75 m²
- Canteiro IV:
A parte cinza é um triângulo. A parte branca é o que sobra. É mais fácil calcular a área cinza e subtrair do total. A base do triângulo cinza é a base do quadrado (1 m) e sua altura é metade da altura do quadrado (0,5 m).
Área Cinza = (base × altura) / 2 = (1 × 0,5) / 2 = 0,25 m²
Área B_IV = Área Total – Área Cinza = 1 m² – 0,25 m² = 0,75 m²
- Canteiro V:
O canteiro é dividido em 4 quadrados menores e iguais. Dois desses quadrados são brancos.
Fração branca = 2 / 4 = 1/2
Área B_V = (1/2) * 1 m² = 0,5 m²
Soma Total:
Agora, somamos todas as áreas brancas que encontramos:
Área Total B = Área B_I + Área B_II + Área B_III + Área B_IV + Área B_V
Área Total B = 0,5 + 0,5 + 0,75 + 0,75 + 0,5
Área Total B = 3,0 m²
4.2 Verificação Intermediária
Nossos cálculos mostram que as áreas brancas são 0,5 m², 0,5 m², 0,75 m², 0,75 m² e 0,5 m². A soma desses valores é 3 m².
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é calcular a área sombreada (para a semente A) em vez da área branca (para a semente B). Se você fizesse isso, a soma das áreas cinzas seria: 0,5 (I) + 0,5 (II) + 0,25 (III) + 0,25 (IV) + 0,5 (V) = 2 m², o que levaria à alternativa errada B.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo detalhado nos levou a uma área total de 3 m² para as sementes do tipo B. Esperamos encontrar o número 3 como uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1,25
B) 2
C) 2,5
D) 3
E) 5
5.2 Justificativa Individual
- A) 1,25 (🔴) Incorreta. Este valor poderia ser obtido somando erroneamente apenas a área branca dos canteiros I e III (0,5 + 0,75 = 1,25).
- B) 2 (🔴) Incorreta. Este é o valor da área sombreada total (para a semente A), como explicado na “possível armadilha”.
- C) 2,5 (🔴) Incorreta. Este valor pode ser obtido se o aluno somar as áreas brancas dos quatro primeiros canteiros e esquecer o último (0,5 + 0,5 + 0,75 + 0,75 = 2,5).
- D) 3 (🟢) Correta. Corresponde exatamente à soma de todas as áreas brancas (não sombreadas) dos cinco canteiros.
- E) 5 (🔴) Incorreta. Este é o valor da área total de todos os cinco canteiros somados (5 × 1 m²), sem considerar a divisão entre as sementes.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido ao calcular a área não sombreada (branca) de cada um dos cinco canteiros, usando a lógica de frações da área total de 1 m². A soma das áreas individuais (0,5 + 0,5 + 0,75 + 0,75 + 0,5) resultou na área total de 3 m² para as sementes do tipo B.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) 3.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas com figuras geométricas em grades ou com divisões claras, pense em frações! Ver a Figura I como “meio a meio” é muito mais rápido do que calcular a área de dois triângulos separadamente.
