Um administrador de um campo de futebol deseja recobri-lo com um tipo de grama que, em condições normais, cresce de acordo com o gráfico a seguir.
Ele precisa ter o campo pronto no dia 11 de junho de 2012, e o comprimento mínimo da grama nesse dia deve ser igual a 7 cm.
Supondo-se que o crescimento da grama se dê em condições normais, a grama deve ser plantada, no máximo, até o dia
A) 17 de maio de 2012.
B) 21 de maio de 2012.
C) 23 de maio de 2012.
D) 8 de junho de 2012.
E) 9 de junho de 2012.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Interpretação de Gráficos
- Função do 1º Grau (Função Afim)
- Regra de Três Simples
- Cálculo com Unidades de Tempo (semanas, dias e datas)
Tema/Objetivo Geral: Modelagem matemática de um problema real a partir de um gráfico e cálculo de cronograma.
Nível da Questão
Médio – A questão exige mais do que uma simples leitura de dados. É necessário interpretar o gráfico para entender que o crescimento é linear em um trecho, calcular um valor que não está explicitamente marcado (interpolação) e, por fim, realizar um cálculo reverso de datas. A combinação dessas três etapas (interpretação, cálculo e aplicação no calendário) eleva a dificuldade do nível fácil para o médio.
Gabarito
B) 21 de maio de 2012. – A alternativa está correta. O cálculo mostra que a grama leva 3 semanas (21 dias) para atingir 7 cm de altura. Contando 21 dias para trás a partir da data final de 11 de junho, a data limite para o plantio é 21 de maio.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Supondo-se que o crescimento da grama se dê em condições normais, a grama deve ser plantada, no máximo, até o dia…”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para determinarmos a data limite para o plantio da grama, de modo que ela atinja a altura mínima de 7 cm até o dia 11 de junho de 2012.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é descobrir quanto tempo, em semanas, a grama leva para atingir 7 cm de altura, converter esse tempo para dias e, em seguida, contar para trás a partir de 11 de junho para encontrar a data de início.
1.4 Pergunta de Atenção
Você reparou que a velocidade de crescimento da grama muda depois da quinta semana? Em qual dos dois trechos do gráfico devemos focar para encontrar a altura de 7 cm? A resposta a essa pergunta é o primeiro passo crucial!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver esta questão, precisamos entender alguns conceitos:
- Gráfico de Função Afim (Reta): O gráfico mostra a relação entre duas variáveis (tempo e comprimento). No trecho entre 0 e 5 semanas, a linha é uma reta, o que significa que o crescimento ocorre a uma taxa constante. A cada semana que passa, a grama cresce a mesma quantidade.
- Interpolação Linear: É o processo de estimar um valor que está entre dois pontos conhecidos em uma linha reta. Como queremos saber o tempo para 7 cm (que está entre os pontos conhecidos de 5 cm e 11 cm), usaremos essa ideia.
- Regra de Três Simples: É uma ferramenta matemática perfeita para resolver problemas de proporcionalidade direta, como o crescimento constante da grama no primeiro trecho. Se em um tempo X a grama cresce Y, em um tempo Z ela crescerá W, mantendo a mesma proporção.
- Exemplo do cotidiano: Se um carro a uma velocidade constante percorre 120 km em 2 horas, podemos usar uma regra de três para descobrir que em 3 horas ele percorrerá 180 km.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos pensar como o administrador do campo. Ele tem uma data de entrega: 11 de junho. Nesse dia, a grama precisa ter pelo menos 7 cm. O gráfico é o “manual de crescimento” dessa grama. A tarefa é ler o manual para descobrir quanto tempo a grama leva para chegar a 7 cm e, com essa informação, calcular o último dia possível para começar a plantá-la.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Analisar o primeiro trecho do gráfico (de 0 a 5 semanas), onde a altura de 7 cm será atingida.
- Usar os pontos conhecidos desse trecho para calcular quanto tempo leva para a grama atingir 7 cm. Faremos isso usando uma regra de três.
- Converter o tempo encontrado de semanas para dias.
- Subtrair esse número de dias da data final (11 de junho) para encontrar a data do plantio.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Analisando o trecho relevante do gráfico:
O gráfico nos mostra dois pontos no trecho de crescimento rápido:
- Em 2 semanas, a grama tem 5 cm.
- Em 5 semanas, a grama tem 11 cm.
Como queremos saber o tempo para atingir 7 cm, que está entre 5 cm e 11 cm, sabemos que a resposta estará entre 2 e 5 semanas.
2. Calculando a taxa de crescimento nesse intervalo:
Vamos ver quanto a grama cresceu e quanto tempo isso levou entre esses dois pontos.
- Variação no tempo: 5 semanas – 2 semanas = 3 semanas.
- Variação no comprimento: 11 cm – 5 cm = 6 cm.
Isso nos diz que, nesse período, a grama cresce 6 cm a cada 3 semanas.
3. Usando a regra de três para encontrar o tempo necessário:
Agora, queremos saber quanto tempo leva para a grama crescer de 5 cm (o que ela já tinha em 2 semanas) até 7 cm.
- Crescimento necessário: 7 cm – 5 cm = 2 cm.
Montamos a regra de três com a taxa que descobrimos:
Se a grama cresce 6 cm em 3 semanas,
Quanto tempo (x) levará para crescer 2 cm?
6 cm —– 3 semanas
2 cm —– x semanas
Multiplicando em cruz:
6 * x = 2 * 3
6 * x = 6
x = 1 semana
Isso significa que leva 1 semana para a grama crescer de 5 cm para 7 cm.
4. Calculando o tempo total desde o plantio:
O tempo total para atingir 7 cm é:
Tempo total = (Tempo para atingir 5 cm) + (Tempo para crescer de 5 a 7 cm)
Tempo total = 2 semanas + 1 semana
Tempo total = 3 semanas
5. Convertendo para dias e calculando a data do plantio:
O tempo necessário é de 3 semanas.
Total em dias = 3 semanas * 7 dias/semana = 21 dias.
A data final é 11 de junho. Precisamos plantar 21 dias antes.
- De 11 de junho para trás, temos 11 dias em junho. (Chegamos a 31 de maio).
- Precisamos voltar mais: 21 dias – 11 dias = 10 dias.
- Voltando 10 dias a partir de 31 de maio, chegamos ao dia 21 de maio.
4.2 Verificação Intermediária
Se plantarmos em 21 de maio, teremos 10 dias até o fim de maio (31) e mais 11 dias em junho, totalizando 10 + 11 = 21 dias, que são as 3 semanas necessárias. O cálculo está correto.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria calcular a taxa de crescimento usando o trecho errado (após 5 semanas) ou usar o ponto (0,0) e (5,11) para a regra de três, o que poderia levar a pequenas imprecisões se o crescimento não fosse perfeitamente linear desde o início (embora neste caso funcionaria, a abordagem por intervalo é mais segura).
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso raciocínio nos levou a uma data de plantio de 21 de maio. Vamos agora verificar as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 17 de maio de 2012.
B) 21 de maio de 2012.
C) 23 de maio de 2012.
D) 8 de junho de 2012.
E) 9 de junho de 2012.
5.2 Justificativa Individual
- A) 17 de maio de 2012. (🔴) Incorreta. Esta data corresponderia a um tempo de crescimento de 25 dias, o que é mais do que o necessário.
- B) 21 de maio de 2012. (🟢) Correta. Corresponde exatamente aos 21 dias (3 semanas) de crescimento necessários para a grama atingir 7 cm.
- C) 23 de maio de 2012. (🔴) Incorreta. Esta data daria um tempo de crescimento de 19 dias, insuficiente para atingir a meta.
- D) 8 de junho de 2012. (🔴) Incorreta. Isso daria apenas 3 dias de crescimento, o que é muito pouco.
- E) 9 de junho de 2012. (🔴) Incorreta. Apenas 2 dias de crescimento, também insuficiente.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Analisamos o trecho linear do gráfico para calcular que a grama leva 1 semana adicional após as 2 primeiras para crescer de 5 cm para 7 cm, totalizando 3 semanas. Convertendo para dias (21) e subtraindo da data limite (11 de junho), chegamos à data de plantio de 21 de maio.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B) 21 de maio de 2012.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em gráficos lineares por partes, sempre identifique em qual “trecho” seu problema se encontra antes de fazer qualquer cálculo. A taxa de variação (inclinação) só é constante dentro de cada trecho.
