A renda de uma família é de R$ 1 750,00. O dinheiro é utilizado da seguinte maneira:
Alimentação: R$ 600,00
Saúde: R$ 300,00
Transporte: R$ 150,00
Educação: R$ 350,00
Lazer: R$ 200,00
Gastos eventuais: R$ 100,00
Poupança: R$ 50,00
No mês de julho, o gasto com alimentação diminuiu 4%, o gasto com transporte aumentou 10% e o gasto com educação aumentou 10%.
Para continuar utilizando os R$ 1 750,00, o que a família deverá decidir com relação ao valor destinado à poupança, mantendo as demais despesas inalteradas?
A) Aumentá-lo em 4%.
B) Aumentá-lo em 8%.
C) Aumentá-lo em 16%.
D) Diminuí-lo em 26%.
E) Diminuí-lo em 52%.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão (apenas o essencial)
Aritmética de porcentagens, proporção e controle de orçamento (soma e diferença).
Tema/Objetivo Geral:
Ajuste de orçamento familiar com variações percentuais para manter o total fixo.
Nível da Questão:
Fácil–médio. É direta nas contas (percentuais simples sobre valores inteiros), mas exige atenção para somar aumentos e diminuições e converter variação absoluta em variação percentual da poupança.
Gabarito:
E) Diminuí-lo em 52%.
Correto porque, após aplicar as variações nas demais categorias, a poupança precisa cair de 50 para 24, o que representa redução de 26 sobre 50, isto é 26/50 = 52%.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Para continuar utilizando os R$ 1 750,00, o que a família deverá decidir com relação ao valor destinado à poupança, mantendo as demais despesas inalteradas?”
1.2 O que está sendo pedido?
Determinar em percentual como a poupança deve variar para que o total continue em R$ 1 750,00.
1.3 Objetivo Cristalino
Chegar à percentual de aumento ou diminuição da poupança necessária após aplicar as novas despesas.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembra que percentual de variação é sempre calculado em relação ao valor original (a poupança de 50), não ao novo valor?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Percentual de aumento: novo = antigo * (1 + p/100).
Exemplo cotidiano: um bilhete que sobe 10% passa de 10 para 10 * 1,10 = 11. - Percentual de diminuição: novo = antigo * (1 − p/100).
Exemplo: desconto de 4% em 600 significa 600 * 0,96 = 576 (queda de 24). - Variação absoluta: diferença = novo − antigo.
Exemplo: poupança de 50 para 24 tem diferença −26. - Variação percentual (em relação ao valor original):
variação % = (diferença / valor original) * 100.
Exemplo: −26 sobre 50 dá (−26/50) * 100 = −52%.
Esses conceitos bastam: vamos aplicar percentuais nas três categorias que mudam, somar tudo e fechar o orçamento ajustando a poupança.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
A família gasta R$ 1 750,00 no total. Em julho, alimentação cai 4%, transporte sobe 10% e educação sobe 10%. Todo o resto fica igual. Para que a soma final continue exatamente 1 750, a poupança será o “botão de ajuste”.
3.2 Estratégia Geral
- Calcular os novos valores de alimentação, transporte e educação.
- Somar todas as despesas exceto a poupança.
- Fazer poupança necessária = 1 750 − (soma sem a poupança).
- Converter a diferença entre a nova poupança e os 50 originais em percentual.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Valores originais:
Alimentação = 600
Saúde = 300
Transporte = 150
Educação = 350
Lazer = 200
Gastos eventuais = 100
Poupança = 50
Aplicando as variações:
Alimentação com queda de 4%:
novo_alimentação = 600 * (1 − 4/100)
novo_alimentação = 600 * 0,96
novo_alimentação = 576
Transporte com aumento de 10%:
novo_transporte = 150 * (1 + 10/100)
novo_transporte = 150 * 1,10
novo_transporte = 165
Educação com aumento de 10%:
novo_educação = 350 * (1 + 10/100)
novo_educação = 350 * 1,10
novo_educação = 385
Somando todas as categorias, exceto a poupança:
soma_sem_poupança = novo_alimentação + saúde + novo_transporte + novo_educação + lazer + gastos_eventuais
soma_sem_poupança = 576 + 300 + 165 + 385 + 200 + 100
soma_sem_poupança = 1 726
Fechando o total em 1 750:
poupança_nova = total − soma_sem_poupança
poupança_nova = 1 750 − 1 726
poupança_nova = 24
Convertendo a mudança em percentual (relativa à poupança original 50):
diferença = poupança_nova − poupança_original
diferença = 24 − 50
diferença = −26
variação_percentual = (diferença / poupança_original) * 100
variação_percentual = (−26 / 50) * 100
variação_percentual = −52%
4.2 Verificação Intermediária
Somando tudo com a poupança nova:
total_verificação = 1 726 + 24 = 1 750 (bate com o total exigido).
4.3 Possível armadilha
Confundir “26 a menos em reais” com “26% a menos”. Cuidado: −26 reais em 50 reais é −52%, não −26%. Outra armadilha é calcular o percentual sobre o valor novo (24) em vez do valor original (50); a base correta é o original.
4.4 Fechamento e expectativa
Concluímos que a poupança precisa cair de 50 para 24, o que é redução de 52%. Logo, esperamos identificar nas alternativas a opção que diga diminuir 52%.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) Aumentá-lo em 4%.
B) Aumentá-lo em 8%.
C) Aumentá-lo em 16%.
D) Diminuí-lo em 26%.
E) Diminuí-lo em 52%.
5.2 Justificativa Individual
- A) Aumentá-lo em 4% (🔴)
Falha porque o ajuste necessário é para baixo, não para cima; a poupança passa de 50 para 24. Para esta alternativa estar correta, o total das demais despesas teria de cair o suficiente para “sobrar” mais dinheiro, exigindo aumento na poupança, o que não ocorre. - B) Aumentá-lo em 8% (🔴)
Mesma falha da A: pede aumento, mas os cálculos mostram redução. Para ser correta, as variações de julho deveriam reduzir o total das outras despesas em 4 reais (8% de 50) e não aumentá-lo em 26 no saldo líquido. - C) Aumentá-lo em 16% (🔴)
Ainda indica aumento; o necessário foi diminuir. Para ficar certa, o saldo após ajustes deveria liberar 8 reais (16% de 50), o oposto do que aconteceu. - D) Diminuí-lo em 26% (🔴)
Indica queda, mas o percentual está errado. Diminuição de 26% sobre 50 seria 50 * (1 − 0,26) = 37, o que não fecha o orçamento (precisamos de 24). Para ficar correta, o percentual de redução teria de ser 52%, não 26%. - E) Diminuí-lo em 52% (🟢)
Confere exatamente com o cálculo:
variação_percentual = (24 − 50) / 50 * 100 = −52%.
Mantém o total em 1 750.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Aplicamos as três variações percentuais, somamos as despesas (sem a poupança) e ajustamos a poupança para manter o total em 1 750. A nova poupança ficou em 24, o que representa redução de 52% em relação aos 50 originais.
6.2 Gabarito Reafirmado
E) Diminuí-lo em 52%.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
(💡) Variação percentual sempre é diferença / valor original. Some primeiro as mudanças, depois ajuste a categoria “livre” para fechar o total.
