No labirinto em um parque de diversões, representado pela malha quadriculada, encontram-se sete crianças: Ana, Carol, Samanta, Denise, Roberta, Eliana e Larissa, representadas por pontos, identificados pela letra inicial do nome de cada uma delas. A malha é formada por quadrados, cujos lados medem 1 cm.
Considere que cada criança pode se deslocar apenas na direção vertical ou horizontal dentro do labirinto. Desse modo, Ana encontra-se equidistante de Samanta e de
A) Carol.
B) Denise.
C) Eliana.
D) Larissa.
E) Roberta.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Plano Cartesiano
- Interpretação de Malhas Quadriculadas
- Cálculo de Distância (Distância de Manhattan)
Tema/Objetivo Geral: Cálculo de distância em uma malha com restrição de movimento.
Nível da Questão
Fácil – A questão exige apenas a contagem de quadrados em duas direções (horizontal e vertical) e a soma desses valores. A única complexidade está em interpretar corretamente o comando de “deslocar apenas na direção vertical ou horizontal”, o que a torna um exercício de atenção mais do que de cálculo complexo.
Gabarito
B) Denise. – A alternativa está correta porque, ao calcular a distância de Ana a Samanta (somando os movimentos horizontais e verticais), encontramos 5 cm. A única outra criança que está a essa mesma distância de Ana é Denise.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Considere que cada criança pode se deslocar apenas na direção vertical ou horizontal dentro do labirinto. Desse modo, Ana encontra-se equidistante de Samanta e de…”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para identificar qual outra criança está à mesma distância de Ana (A) que Samanta (S) está, seguindo a regra de que os movimentos só podem ser feitos para cima/baixo ou para os lados, nunca na diagonal.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é: primeiro, calcular a distância de “caminhada” entre Ana (A) e Samanta (S); segundo, calcular a distância de Ana para todas as outras crianças e encontrar aquela cujo valor seja igual ao primeiro.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a distância aqui não é uma linha reta? A regra de se mover “apenas na direção vertical ou horizontal” é a chave de tudo e muda completamente a forma de calcular!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver esta questão, precisamos entender dois conceitos simples:
- Malha Quadriculada: É um sistema de grade, como um papel quadriculado ou um tabuleiro de xadrez, que nos ajuda a localizar pontos e medir distâncias de forma visual. Cada lado do quadrado na nossa malha mede 1 cm.
- Equidistante: Esta palavra significa simplesmente “que está à mesma distância”. Se o ponto X é equidistante dos pontos Y и Z, a distância de X a Y é exatamente igual à distância de X a Z.
- Distância de Manhattan (ou Distância do Taxista): Este é o nome técnico para a distância calculada com a restrição de movimento do problema. Em vez de uma linha reta (como um pássaro voaria), calculamos a distância somando os movimentos na horizontal e na vertical.
- Fórmula: Distância = |movimento horizontal| + |movimento vertical|
- Exemplo do cotidiano: É como andar pelos quarteirões de uma cidade. Você não pode atravessar os prédios na diagonal; você tem que andar pelas ruas (horizontal) e virar nas esquinas para seguir por outras ruas (vertical).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “mastigar” o problema: Ana está parada no ponto A. Ela olha para Samanta (S) e calcula a distância que precisa andar para chegar até ela, só podendo se mover pelos “corredores” do labirinto (linhas da grade). A pergunta é: qual outra criança está exatamente na mesma “distância de caminhada” de Ana?
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será o seguinte:
- Calcular a “distância alvo”: a distância de Ana (A) até Samanta (S).
- Testar uma por uma: calcular a distância de Ana (A) para cada uma das outras crianças nas alternativas (Carol, Denise, Eliana, etc.).
- Comparar as distâncias encontradas com a “distância alvo” e identificar a correta.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Calculando a distância de Ana (A) para Samanta (S):
Para ir de A para S, precisamos nos mover na horizontal e na vertical.
- Movimento Horizontal: Do ponto A para a coluna do ponto S, andamos 3 quadrados para a direita.
- Movimento Vertical: Da linha do ponto A para a linha do ponto S, andamos 2 quadrados para baixo.
- Distância Total (A → S): 3 cm (horizontal) + 2 cm (vertical) = 5 cm.
Nossa “distância alvo” é 5 cm. Agora precisamos encontrar outra criança a 5 cm de Ana.
2. Calculando a distância de Ana (A) para as outras crianças:
- Para Carol (C):
- Movimento Horizontal: 2 quadrados para a direita.
- Movimento Vertical: 1 quadrado para baixo.
- Distância (A → C): 2 + 1 = 3 cm. (Não é 5 cm)
- Para Denise (D):
- Movimento Horizontal: 1 quadrado para a direita.
- Movimento Vertical: 4 quadrados para baixo.
- Distância (A → D): 1 + 4 = 5 cm. (Encontramos! Esta é a resposta.)
Vamos continuar para ter certeza:
- Para Eliana (E):
- Movimento Horizontal: 2 quadrados para a direita.
- Movimento Vertical: 2 quadrados para baixo.
- Distância (A → E): 2 + 2 = 4 cm. (Não é 5 cm)
- Para Larissa (L):
- Movimento Horizontal: 1 quadrado para a direita.
- Movimento Vertical: 5 quadrados para baixo.
- Distância (A → L): 1 + 5 = 6 cm. (Não é 5 cm)
- Para Roberta (R):
- Movimento Horizontal: 4 quadrados para a direita.
- Movimento Vertical: 5 quadrados para baixo.
- Distância (A → R): 4 + 5 = 9 cm. (Não é 5 cm)
4.2 Verificação Intermediária
Confirmamos que a distância de Ana a Samanta é de 5 cm. Ao testar as outras opções, a única que resultou na mesma distância de 5 cm foi Denise.
4.3 Possível armadilha
A grande armadilha seria esquecer a regra de movimento e tentar calcular a distância em linha reta, usando o Teorema de Pitágoras. Por exemplo, a distância em linha reta de A para S seria √(3² + 2²) = √13, um valor completamente diferente. O enunciado é muito claro sobre como o deslocamento deve ser feito.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossa contagem passo a passo mostrou que Ana está a 5 cm de Samanta e também a 5 cm de Denise. Portanto, esperamos encontrar “Denise” como a resposta correta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) Carol.
B) Denise.
C) Eliana.
D) Larissa.
E) Roberta.
5.2 Justificativa Individual
- A) Carol. (🔴) Incorreta. A distância de Ana a Carol é de 3 cm, que é diferente da distância de 5 cm até Samanta.
- B) Denise. (🟢) Correta. A distância de Ana a Denise é de 5 cm, exatamente a mesma distância de Ana a Samanta, tornando-as equidistantes.
- C) Eliana. (🔴) Incorreta. A distância de Ana a Eliana é de 4 cm.
- D) Larissa. (🔴) Incorreta. A distância de Ana a Larissa é de 6 cm.
- E) Roberta. (🔴) Incorreta. A distância de Ana a Roberta é de 9 cm.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada calculando a “Distância de Manhattan” (soma dos movimentos horizontal e vertical) de Ana para Samanta, que resultou em 5 cm. Em seguida, aplicamos o mesmo método para as outras crianças, descobrindo que apenas Denise estava à mesma distância de 5 cm.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B) Denise.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que um problema em malha quadriculada mencionar movimento “horizontal e vertical”, a distância é a soma dos passos em cada direção, não a linha reta diagonal. Pense em caminhar por quarteirões
