Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto.
A) (–5, 0).
B) (–3, 1).
C) (–2, 1).
D) (0, 4).
E) (2, 6).
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Analítica (Equação da Reta, Distância entre Dois Pontos)
- Álgebra (Sistemas de Coordenadas Cartesianas)
- Interpretação de Problemas
🎯 Tema/Objetivo Geral: Verificação de quais pontos satisfazem duas condições simultaneamente: pertencer a uma reta e estar a uma distância máxima de um ponto fixo.
📊 Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão exige a aplicação de duas fórmulas distintas da geometria analítica em um processo de eliminação. É preciso primeiro testar quais pontos pertencem à reta e, em seguida, calcular a distância dos pontos aprovados até o hospital.
✅ Gabarito: Alternativa B.
- Resumo: O problema é resolvido em duas etapas de verificação: 1) Testar quais dos pontos das alternativas satisfazem a equação da reta y = x + 4. 2) Para os pontos que satisfazem a primeira condição, calcular a distância até o ponto P=(-5, 5) e verificar se essa distância é menor ou igual a 5 km. O único ponto que passa nos dois testes é (-3, 1).
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto…”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para encontrar, entre as cinco opções de pontos, qual deles satisfaz duas condições ao mesmo tempo:
- Condição 1 (Local da Estação): O ponto da estação deve pertencer à linha do metrô, ou seja, suas coordenadas (x, y) devem satisfazer a equação y = x + 4.
- Condição 2 (Pedido da Comunidade): A distância em linha reta entre o ponto da estação e o hospital P = (-5, 5) não pode ser maior que 5 km.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é testar cada um dos cinco pontos das alternativas. Para cada ponto, faremos um “checklist” de duas perguntas:
- Ele está na linha do metrô?
- Ele está perto o suficiente do hospital?
A resposta correta será o ponto que tiver “sim” para ambas as perguntas.
🧠 Pense nisso como encontrar um local para um encontro. Vocês combinaram de se encontrar em um café na Avenida Paulista (a reta) e que esse café não pode estar a mais de 5 quarteirões da sua casa (o ponto P). Precisamos achar o café que cumpre os dois requisitos.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Pertencer a uma Reta: Um ponto (x₀, y₀) pertence a uma reta de equação y = ax + b se, ao substituirmos x por x₀ e y por y₀, a igualdade for verdadeira.
- Distância entre Dois Pontos: A distância d entre dois pontos A = (x₁, y₁) e B = (x₂, y₂) no plano cartesiano é dada pela fórmula derivada do Teorema de Pitágoras:
- d = √[ (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² ]
- Condição da Distância: No nosso problema, a distância d entre a estação (x, y) e o hospital P=(-5, 5) deve ser d ≤ 5. Isso é o mesmo que dizer d² ≤ 25, o que nos permite trabalhar sem a raiz quadrada para facilitar a comparação.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
A linha do metrô é a reta y = x + 4. O hospital está no ponto P = (-5, 5). A comunidade quer uma estação que esteja na linha do metrô e a, no máximo, 5 km do hospital. O comitê diz que uma das estações já planejadas atende a esse pedido. Qual delas é?
Estratégia Geral 🗺️
Vamos fazer um processo de eliminação em duas fases:
- Fase 1 (Teste da Reta): Verificar quais dos cinco pontos das alternativas pertencem à reta y = x + 4. Os que não pertencerem já estão eliminados.
- Fase 2 (Teste da Distância): Para os pontos que sobraram, calcular a distância até P = (-5, 5) e ver qual deles tem uma distância menor ou igual a 5.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Fase 1: Verificar quais pontos estão na reta y = x + 4
- A) (–5, 0): 0 = -5 + 4 → 0 = -1 (Falso). Eliminado.
- B) (–3, 1): 1 = -3 + 4 → 1 = 1 (Verdadeiro). Candidato.
- C) (–2, 1): 1 = -2 + 4 → 1 = 2 (Falso). Eliminado.
- D) (0, 4): 4 = 0 + 4 → 4 = 4 (Verdadeiro). Candidato.
- E) (2, 6): 6 = 2 + 4 → 6 = 6 (Verdadeiro). Candidato.
Sobraram três candidatos: B) (–3, 1), D) (0, 4) e E) (2, 6). Agora vamos para a Fase 2
Fase 2: Calcular a distância de cada candidato ao hospital P = (–5, 5)
A condição é d ≤ 5, ou d² ≤ 25.
- Candidato B) (–3, 1):
- d² = (-3 – (-5))² + (1 – 5)²
- d² = (-3 + 5)² + (-4)²
- d² = (2)² + 16
- d² = 4 + 16 = 20
- Como 20 ≤ 25, este ponto atende à condição. d = √20 ≈ 4,47.
- Candidato D) (0, 4):
- d² = (0 – (-5))² + (4 – 5)²
- d² = (5)² + (-1)²
- d² = 25 + 1 = 26
- Como 26 > 25, este ponto não atende à condição. d = √26 ≈ 5,1.
- Candidato E) (2, 6):
- d² = (2 – (-5))² + (6 – 5)²
- d² = (7)² + (1)²
- d² = 49 + 1 = 50
- Como 50 > 25, este ponto não atende à condição. d = √50 ≈ 7,07.
Conclusão Final:
O único ponto que está na reta do metrô E está a uma distância menor que 5 km do hospital é o (–3, 1).
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) (–5, 0).
Incorreta. Não pertence à reta do metrô.
🟢 B) (–3, 1).
Correta. Pertence à reta do metrô (1 = -3 + 4) e sua distância ao hospital é √20, que é menor que 5.
🔴 C) (–2, 1).
Incorreta. Não pertence à reta do metrô.
🟡 D) (0, 4).
A que mais confunde. Pertence à reta do metrô, mas sua distância ao hospital (√26) é ligeiramente maior que 5.
🔴 E) (2, 6).
Incorreta. Pertence à reta do metrô, mas está muito longe do hospital (√50).
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
A resolução do problema exige a verificação de duas condições para cada ponto candidato. A primeira é se o ponto pertence à reta da linha do metrô, y = x + 4. A segunda é se a distância desse ponto ao hospital, localizado em P = (-5, 5), é menor ou igual a 5 km. Após testar os pontos das alternativas, verifica-se que os pontos (-3, 1), (0, 4) e (2, 6) pertencem à reta. Em seguida, calculando a distância de cada um desses pontos ao hospital, apenas o ponto (-3, 1) satisfaz a segunda condição, com uma distância de √20 ≈ 4,47 km.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão
Em problemas de geometria analítica com múltiplas condições, use uma abordagem de filtro sequencial. Aplique a primeira condição para eliminar algumas alternativas. Depois, aplique a segunda condição apenas às alternativas que sobraram. Isso economiza tempo e organiza o raciocínio.
