O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para as extremidades e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado?
A) 1
B) 4
C) 5
D) 7
E) 8
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana
- Perímetro de Figuras Compostas
- Comprimento da Circunferência
- Raciocínio Lógico
Tema/Objetivo Geral: Comparação de perímetros de figuras semelhantes para determinar qual caminho é mais curto.
Nível da Questão: Fácil.
- Justificativa: A questão é considerada fácil pois não exige nenhum cálculo numérico. A solução depende apenas do entendimento conceitual de que, para círculos (ou semicírculos), um raio maior resulta em um perímetro maior. A resposta é puramente lógica e qualitativa.
Gabarito: A) 1
- Esta alternativa está correta porque a raia 1, sendo a mais interna, possui os semicírculos com o menor raio, resultando no menor perímetro total e, consequentemente, no caminho mais curto a ser percorrido.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício quer saber em qual das raias o corredor percorreria a menor distância para completar uma volta, ou seja, qual raia é a mais curta. Ser “beneficiado”, nesse contexto, significa correr menos.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é analisar a geometria da pista e determinar qual das oito raias tem o menor perímetro total.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a parte reta da pista tem o mesmo comprimento para todos os corredores, não importa a raia? Onde será que está a diferença, então?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para entender a solução, precisamos dominar alguns conceitos:
- Perímetro: É o comprimento total do contorno de uma figura. No nosso caso, é a distância de uma volta completa na pista.
- Composição da Pista: A pista é formada por duas partes retas e duas partes curvas (semicírculos).
- Perímetro Total = (Comprimento da Reta 1) + (Comprimento da Reta 2) + (Comprimento da Curva 1) + (Comprimento da Curva 2)
- Comprimento da Circunferência:
- O que é: É o perímetro de um círculo completo.
- Fórmula: C = 2 * π * r (onde π é uma constante, aproximadamente 3,14, e r é o raio).
- Relação Fundamental: A fórmula nos mostra que o comprimento da circunferência é diretamente proporcional ao raio (r). Isso significa que:
- Se o raio aumenta, o comprimento da curva aumenta.
- Se o raio diminui, o comprimento da curva diminui.
- Numeração das Raias: O texto informa que as raias são numeradas do centro da pista para as extremidades. Isso significa:
- Raia 1: A mais interna, mais perto do centro.
- Raia 8: A mais externa, mais longe do centro.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir: imagine oito corredores lado a lado na linha de largada de uma pista de atletismo. Se todos correrem uma volta completa, quem terá percorrido o caminho mais curto? É o corredor que está mais por dentro da curva ou o que está mais por fora?
3.2 Estratégia Geral
O nosso plano de ataque é puramente lógico:
- Dividir a pista em suas partes componentes: as duas retas e as duas curvas.
- Analisar o comprimento das partes retas para todos os corredores.
- Analisar o comprimento das partes curvas para todos os corredores, relacionando-as com a fórmula do comprimento da circunferência.
- Juntar as análises para concluir qual raia tem o menor perímetro total.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos aplicar nossa estratégia lógica.
-
Passo 1: Analisar as partes retas.
- O enunciado afirma que os segmentos de retas são paralelos.
- Isso significa que o comprimento de cada uma das duas retas é exatamente o mesmo para todas as oito raias.
- Conclusão Parcial 1: A diferença de distância percorrida entre os corredores não está nas retas.
-
Passo 2: Analisar as partes curvas.
- As partes curvas são dois semicírculos. Juntos, eles formam uma circunferência completa.
- O comprimento dessas curvas depende da fórmula C = 2 * π * r.
- A única variável que muda de uma raia para outra é o raio (r).
- A raia 1 é a mais interna, portanto, ela tem o menor raio.
- A raia 8 é a mais externa, portanto, ela tem o maior raio.
- Como o comprimento da curva é diretamente proporcional ao raio, podemos concluir:
- A raia 1, com o menor raio, terá o menor comprimento de curva.
- A raia 8, com o maior raio, terá o maior comprimento de curva.
- Conclusão Parcial 2: A diferença de distância percorrida entre os corredores está nas curvas.
-
Passo 3: Juntar as conclusões e determinar o benefício.
- Perímetro Total = (Comprimento fixo das retas) + (Comprimento variável das curvas).
- Para que o Perímetro Total seja o menor possível, a parte variável (comprimento das curvas) deve ser a menor possível.
- Isso acontece na raia com o menor raio, que é a raia 1.
- Portanto, o corredor na raia 1 é o que corre a menor distância e, consequentemente, é o mais “beneficiado”.
4.2 Verificação Intermediária
O raciocínio lógico nos mostra que a parte reta é igual para todos, e a parte curva é menor para quem está mais perto do centro. A soma das duas partes será menor para quem está na raia mais interna.
4.3 Possível armadilha
A armadilha seria não entender o que significa “beneficiado” (correr menos) ou se confundir com a numeração das raias. Se você pensasse que a raia 1 era a mais externa, chegaria à resposta errada. É por isso que, nas corridas reais, os atletas que largam nas raias mais externas começam mais à frente, para compensar a distância maior que precisam percorrer nas curvas.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossa análise puramente lógica concluiu que a raia 1 é a mais curta. Esperamos encontrar “1” como uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1
B) 4
C) 5
D) 7
E) 8
5.2 Justificativa Individual
- A) 1 (🟢) Correta. Corresponde à raia mais interna, que possui o menor raio e, portanto, o menor perímetro total, oferecendo a menor distância a ser percorrida.
- B) 4 (🔴) Errada. É uma raia intermediária, mais longa que a 1.
- C) 5 (🔴) Errada. É uma raia intermediária, mais longa que a 4.
- D) 7 (🔴) Errada. É uma das raias mais externas, sendo uma das mais longas.
- E) 8 (🔴) Errada. Corresponde à raia mais externa, que tem o maior raio e, portanto, o maior perímetro. Seria a raia mais “prejudicada” se todos partissem da mesma linha.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A resolução se baseou na decomposição da pista em partes retas e curvas. Concluímos que as retas têm o mesmo comprimento para todos, mas as curvas são mais curtas para as raias mais internas devido ao menor raio. Portanto, a raia 1, a mais interna, é a que oferece o menor percurso.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A) 1.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em qualquer pista curva, o caminho mais curto é sempre o que está mais próximo do centro, pois envolve um raio de curvatura menor. Lembre-se: menor raio = menor curva.
