O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.
Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é
A) y = 4 300x
B) y = 884 905x
C) y = 872 005 + 4 300x
D) y = 876 305 + 4 300x
E) y = 880 605 + 4 300x
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função de 1º Grau (Função Afim)
- Interpretação de Texto
- Aritmética Básica
Tema/Objetivo Geral: Modelagem de um problema do cotidiano através de uma expressão algébrica de 1º grau.
Nível da Questão: Médio.
- Justificativa: A questão é considerada de nível médio porque contém uma “pegadinha” clássica. Ela fornece o valor total em um ponto específico (mês de fevereiro, x=2), e não o valor inicial (coeficiente linear b). Isso exige que o aluno interprete o texto com atenção e realize um cálculo reverso para encontrar o ponto de partida correto, em vez de apenas usar os números diretamente do enunciado.
Gabarito: C) y = 872 005 + 4 300x
- Esta alternativa está correta pois representa a função com a taxa de crescimento mensal correta (4.300) e o valor inicial (coeficiente linear) calculado corretamente, retrocedendo a partir do dado de fevereiro.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“a expressão algébrica que relaciona essas quantidades [y e x] nesses meses é”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para encontrarmos a fórmula matemática (uma equação) que descreve o número total de trabalhadores (y) em um determinado mês (x), considerando um crescimento constante.
1.3 Objetivo Cristalino
Nossa meta é construir uma função de 1º grau, no formato y = ax + b, que represente fielmente a situação descrita no texto.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que o valor de 880.605 trabalhadores é o total em fevereiro, e não o ponto de partida antes de janeiro? Essa é a principal armadilha que derruba muita gente!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver essa questão, o conceito central é a Função de 1º Grau (ou Função Afim).
- Fórmula Geral: y = ax + b
- Classificação dos Termos:
- y: É a variável dependente. No nosso problema, é a quantidade total de trabalhadores, que depende do mês.
- x: É a variável independente. No nosso problema, é o mês (1 para janeiro, 2 para fevereiro, etc.).
- a: É o coeficiente angular ou taxa de variação. Ele representa o quanto y muda para cada unidade que x aumenta.
- Explicação Simples: É o “motor” do crescimento. No nosso caso, é o número de novas contratações por mês (4.300).
- b: É o coeficiente linear ou valor inicial. Ele representa o valor de y quando x é zero, ou seja, o ponto de partida antes do primeiro mês.
- Exemplo do Cotidiano: Em uma corrida de táxi, o valor da “bandeirada” (o que você paga só por entrar no carro, antes de andar qualquer quilômetro) é o coeficiente b, e o preço por quilômetro rodado é o coeficiente a.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir: o número de trabalhadores com carteira assinada é como uma escada rolante que sobe. A cada mês que passa (a cada passo), ela sobe 4.300 pessoas. Sabemos que no final de fevereiro (passo 2), a escada atingiu a marca de 880.605 pessoas. A questão quer a regra geral para descobrir a altura (número de pessoas) em qualquer passo (mês). Para isso, precisamos descobrir qual era a “altura inicial” da escada antes de começar a subir em janeiro.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque é:
- Identificar a taxa de crescimento constante (o coeficiente a).
- Usar o dado fornecido (total em fevereiro) para “voltar no tempo” e descobrir o valor inicial (o coeficiente b).
- Montar a equação completa y = ax + b com os valores encontrados.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos seguir nossa estratégia e encontrar os valores de a e b.
-
Passo 1: Encontrar o coeficiente angular (a)
- O enunciado afirma que houve um “incremento de 4 300 vagas no setor” por mês. Esta é a nossa taxa de variação constante.
- a = 4 300
-
Passo 2: Encontrar o coeficiente linear (b)
- Esta é a parte crucial. Sabemos que em fevereiro, que é o mês 2 (x=2), o total de trabalhadores (y) era 880.605.
- Para encontrar o valor em janeiro (x=1), precisamos subtrair o incremento de um mês.
- Total em Janeiro = Total em Fevereiro – 4 300
- Total em Janeiro = 880 605 – 4 300 = 876 305
- O coeficiente b é o valor em x=0, ou seja, o valor antes de janeiro. Para encontrá-lo, subtraímos o incremento novamente.
- Valor Inicial (b) = Total em Janeiro – 4 300
- Valor Inicial (b) = 876 305 – 4 300 = 872 005
- Portanto, b = 872 005.
-
Passo 3: Montar a equação final
- Agora que temos a e b, podemos montar a expressão completa:
- y = a*x + b
- y = 4 300x + 872 005
4.2 Verificação Intermediária
Vamos testar nossa equação para x=2 (fevereiro) e ver se o resultado bate com o do enunciado:
- y = 4 300 * (2) + 872 005
- y = 8 600 + 872 005
- y = 880 605
O valor bateu perfeitamente, o que confirma que nossa equação está correta.
4.3 Possível armadilha
Você pode ter achado que o valor inicial (b) era 880.605. Essa é a armadilha da questão. O texto é claro ao dizer que esse é o total em fevereiro. Se você usasse esse valor, chegaria à alternativa E, que está incorreta. A mesma lógica se aplica à alternativa D, que usa o valor de janeiro como valor inicial.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou à equação y = 872 005 + 4 300x. Agora, vamos procurar por essa expressão exata nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) y = 4 300x
B) y = 884 905x
C) y = 872 005 + 4 300x
D) y = 876 305 + 4 300x
E) y = 880 605 + 4 300x
5.2 Justificativa Individual
- A) 🔴 Errada. Descreve uma situação em que o número de trabalhadores começa em zero, o que é falso. Falta o coeficiente linear b.
- B) 🔴 Errada. Esta expressão não representa uma função afim com um valor inicial fixo; ela multiplica o mês por um valor total, o que não faz sentido no contexto.
- C) 🟢 Correta. Corresponde perfeitamente à nossa equação, com o coeficiente angular (a = 4.300) e o coeficiente linear (b = 872.005) calculados corretamente.
- D) 🔴 Errada. Utiliza o valor total de janeiro (mês 1) como se fosse o valor inicial (mês 0). É uma armadilha secundária.
- E) 🔴 Errada. Esta é a principal armadilha, pois usa o valor de fevereiro (mês 2) como se fosse o valor inicial (mês 0).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para encontrar a expressão correta, primeiro identificamos a taxa de crescimento mensal (coeficiente a). Em seguida, usamos o dado pontual fornecido (total em fevereiro) para calcular o valor inicial (coeficiente b), retrocedendo dois meses no tempo. Por fim, unimos a e b na forma padrão da função de 1º grau.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta, que modela a situação de forma precisa, é a C) y = 872 005 + 4 300x.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de função linear, sempre se pergunte: o valor fornecido é o ponto de partida (b) ou um ponto qualquer no meio do caminho? Essa distinção é a chave para não cair em armadilhas
