A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. MW e M0 se relacionam pela fórmula:
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude MW = 7,3.
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina•cm)?
A) 10-5,10
B) 10-0,73
C) 1012,00
D) 1021,65
E) 1027,00
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Logaritmos e suas propriedades)
- Álgebra (Resolução de Equações)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Aplicação de logaritmos para resolver uma equação que modela a magnitude de um terremoto.
📊 Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão exige a manipulação de uma equação logarítmica. O aluno precisa substituir os valores conhecidos, isolar o termo com o logaritmo, aplicar a definição de logaritmo para “eliminá-lo” e, por fim, usar as propriedades de potência para chegar ao resultado final.
✅ Gabarito: Alternativa E.
- Resumo: O problema é resolvido substituindo o valor de Mw (7,3) na fórmula dada. Em seguida, a equação é rearranjada algebricamente para isolar log₁₀(M₀). Finalmente, aplica-se a definição de logaritmo (se logₐ(b) = c, então aᶜ = b) para encontrar o valor de M₀.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Qual foi o momento sísmico M₀ do terremoto de Kobe (em dina·cm)?”
O que está sendo pedido?
A questão nos dá a fórmula que relaciona a magnitude (Mw) e o momento sísmico (M₀). Ela nos informa o valor da magnitude do terremoto de Kobe (Mw = 7,3) e nos pede para calcular o valor de M₀.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é tratar a fórmula como uma equação, substituir o valor de Mw que foi dado e resolver a equação para encontrar o valor de M₀.
🧠 A variável que queremos encontrar, M₀, está “presa” dentro de um logaritmo. Qual é a operação matemática inversa que “liberta” uma variável de um logaritmo? A exponenciação!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Logaritmo: O logaritmo é o expoente ao qual uma base fixa deve ser elevada para produzir um certo número.
- Definição Fundamental: logₐ(b) = x é equivalente a aˣ = b.
- No problema: Usamos o logaritmo na base 10 (log₁₀). Portanto, se log₁₀(M₀) = x, então 10ˣ = M₀.
- Propriedades de Potências:
- a^(b+c) = aᵇ . aᶜ
- a^(b.c) = (aᵇ)ᶜ
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos uma “receita de bolo” (a fórmula) que nos diz como calcular a força de um terremoto (Mw) se soubermos a energia que ele liberou (M₀). O problema nos dá o resultado final (a força foi 7,3) e nos pergunta: “qual foi a quantidade de ‘ingrediente’ (M₀) usada para dar esse resultado?”. Nossa tarefa é usar a receita de trás para frente para descobrir o ingrediente.
Estratégia Geral 🗺️
- Escrever a fórmula.
- Substituir Mw por 7,3.
- Isolar o termo log₁₀(M₀) em um lado da equação.
- Usar a definição de logaritmo para eliminar o “log” e encontrar M₀.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Escrever a fórmula e substituir o valor conhecido:
- Fórmula: Mw = -10,7 + (2/3) . log₁₀(M₀)
- Substituindo Mw = 7,3:
7,3 = -10,7 + (2/3) . log₁₀(M₀)
2. Isolar o termo com logaritmo:
- Primeiro, passe o -10,7 para o outro lado, somando:
7,3 + 10,7 = (2/3) . log₁₀(M₀)
18 = (2/3) . log₁₀(M₀) - Agora, passe o (2/3) para o outro lado. Como ele está multiplicando, ele passa dividindo, o que é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso (3/2):
18 . (3/2) = log₁₀(M₀)
(18 . 3) / 2 = log₁₀(M₀)
54 / 2 = log₁₀(M₀)
27 = log₁₀(M₀)
3. Aplicar a definição de logaritmo:
- Temos a equação na forma logₐ(b) = x, onde a=10, b=M₀ e x=27.
- A definição nos diz que aˣ = b.
- Portanto:
M₀ = 10²⁷ (ou 10^27,00)
Verificação Intermediária
Encontramos que o momento sísmico M₀ foi de 10²⁷ dina·cm.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha é errar na manipulação algébrica, especialmente ao lidar com a fração (2/3). Outro erro seria não saber como converter a equação logarítmica (log₁₀(M₀) = 27) para sua forma exponencial (M₀ = 10²⁷).
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo resultou em 10²⁷. Vamos procurar este valor nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 10⁻⁵,¹⁰
Incorreta.
🔴 B) 10⁻⁰,⁷³
Incorreta.
🔴 C) 10¹²,⁰⁰
Incorreta.
🔴 D) 10²¹,⁶⁵
Incorreta.
🟢 E) 10²⁷,⁰⁰
Correta. Corresponde exatamente ao valor que calculamos para M₀.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema forneceu a fórmula Mw = -10,7 + (2/3)log₁₀(M₀) e o valor de Mw = 7,3 para o terremoto de Kobe. Substituindo o valor na fórmula, iniciamos o processo de isolar a variável M₀. Primeiramente, isolamos o termo logarítmico, chegando a log₁₀(M₀) = 27. Em seguida, aplicamos a definição fundamental de logaritmo, que estabelece que se logₐ(b) = c, então aᶜ = b. Nesse caso, com base 10, obtivemos M₀ = 10²⁷.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a E.
Resumo Final para Revisão
A chave para resolver equações logarítmicas é isolar o termo do logaritmo e depois usar a definição de logaritmo para convertê-lo em uma equação exponencial, o que “liberta” a variável que você está procurando.
