Um pintor dispõe de 35 litros de tinta vermelha e de 30 litros de tinta branca. Ele deseja misturar essas tintas na proporção de 5 litros de tinta vermelha para cada 3 litros de tinta branca para obter um tom de tinta mais claro. Para obter o maior volume possível de tinta misturada, ele deverá utilizar toda a tinta disponível de uma das cores e sobrará uma certa quantidade de tinta da outra cor.
Quantos litros de tinta sobrarão sem serem misturados?
A) 5.
B) 9.
C) 12.
D) 14.
E) 17.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Razão e Proporção
- Regra de Três Simples
- Raciocínio Lógico (Identificação de Fator Limitante)
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo da quantidade de reagentes em uma mistura com proporção fixa, determinando qual dos componentes acaba primeiro e qual sobra.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio porque não basta fazer um cálculo direto. É preciso analisar dois cenários hipotéticos para descobrir qual dos “ingredientes” (tintas) irá limitar a produção da mistura. O aluno precisa entender o conceito de “reagente limitante” de forma intuitiva para resolver o problema corretamente.
Gabarito
Alternativa B) – Esta alternativa está correta. Ao usar toda a tinta vermelha, o pintor precisará de 21 litros de tinta branca. Como ele tem 30 litros, sobrarão 9 litros de tinta branca.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Quantos litros de tinta sobrarão sem serem misturados?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcular a quantidade de sobra de uma das tintas, após o pintor ter feito a maior quantidade possível da mistura, respeitando a proporção de 5 para 3.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é descobrir qual das duas tintas (vermelha ou branca) vai acabar primeiro (o fator limitante) e, com base nisso, calcular quanto da outra tinta sobrará no galão.
1.4 Pergunta de Atenção
Você já tentou fazer uma receita e percebeu que um dos ingredientes acabou antes dos outros? Por exemplo, você tem farinha para 10 bolos, mas ovos para apenas 3. Os ovos são o seu “fator limitante”. Você só consegue fazer 3 bolos e sobra farinha. A lógica aqui é a mesma!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Proporção:
- Definição: É uma relação fixa entre quantidades. No nosso caso, a proporção é 5V : 3B, o que significa que para cada 5 litros de tinta Vermelha (V), são necessários exatamente 3 litros de tinta Branca (B).
- Fator Limitante (ou Reagente Limitante):
- Definição: Em um processo que consome múltiplos ingredientes (como uma reação química ou uma receita), o fator limitante é o ingrediente que se esgota primeiro, determinando a quantidade máxima de produto que pode ser formada.
- Regra de Três Simples:
- Definição: Ferramenta matemática usada para encontrar um valor desconhecido em uma situação de proporcionalidade.
- Estrutura:
Tinta Vermelha 1 —-> Tinta Branca 1
Tinta Vermelha 2 —-> Tinta Branca 2 (X)
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Um pintor quer fazer uma mistura de tintas. A “receita” é: 5 partes de vermelho para 3 partes de branco. Ele tem um estoque de 35 litros de vermelho e 30 litros de branco. Ele vai misturar o máximo que puder até uma das cores acabar. Queremos saber qual cor sobra e quanto sobra.
3.2 Estratégia Geral
A melhor maneira de resolver é testar os dois cenários possíveis para ver qual deles é viável:
- Cenário 1: E se a tinta VERMELHA acabar primeiro?
- Assumimos que vamos usar todos os 35 litros de tinta vermelha.
- Calculamos quanta tinta branca seria necessária para essa quantidade de vermelha.
- Verificamos se temos essa quantidade de branca no estoque. Se sim, este cenário é possível.
- Cenário 2: E se a tinta BRANCA acabar primeiro?
- Assumimos que vamos usar todos os 30 litros de tinta branca.
- Calculamos quanta tinta vermelha seria necessária para essa quantidade de branca.
- Verificamos se temos essa quantidade de vermelha no estoque.
- Conclusão: O cenário viável nos dirá qual tinta acaba e qual sobra. Então, calculamos a sobra.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Teste do Cenário 1: Usar toda a tinta VERMELHA (35 L).
A proporção é 5L de Vermelha para 3L de Branca.
Usando a regra de três:
5 L Vermelha —-> 3 L Branca
35 L Vermelha —> x L Branca
5 * x = 35 * 3
5x = 105
x = 105 / 5
x = 21 litros de tinta branca.
Análise do Cenário 1: Para usar toda a tinta vermelha, precisaríamos de 21 L de tinta branca. Nós temos 30 L de tinta branca em estoque. Como 30 > 21, temos tinta branca suficiente. Portanto, este cenário é possível.
Teste do Cenário 2: Usar toda a tinta BRANCA (30 L).
A proporção é 3L de Branca para 5L de Vermelha.
Usando a regra de três:
3 L Branca —-> 5 L Vermelha
30 L Branca —> y L Vermelha
3 * y = 30 * 5
3y = 150
y = 150 / 3
y = 50 litros de tinta vermelha.
Análise do Cenário 2: Para usar toda a tinta branca, precisaríamos de 50 L de tinta vermelha. Nós só temos 35 L de tinta vermelha em estoque. Como 35 < 50, não temos tinta vermelha suficiente. Portanto, este cenário é impossível.
Conclusão dos Cenários:
O único cenário possível é o primeiro. Isso significa que a tinta vermelha é o fator limitante: ela vai acabar primeiro. Vamos usar todos os 35 L de tinta vermelha.
Cálculo da Sobra:
- Quantidade de tinta branca usada: 21 L
- Quantidade de tinta branca em estoque: 30 L
- Sobra = Estoque – Usado
- Sobra = 30 – 21
- Sobra = 9 litros de tinta branca
4.2 Verificação Intermediária
O raciocínio é lógico. Temos “mais” tinta branca em relação à proporção necessária, então é natural que ela sobre. Se a proporção é 5:3, e temos 35:30, podemos simplificar dividindo por 5: 7:6. Como 6 é maior que o triplo de nada exato, mas a proporção 3/5=0,6 e 30/35 ~= 0,85, vemos que a proporção de branco é maior que a necessária, então ela sobra.
4.3 Possível armadilha
A armadilha seria não testar os dois cenários e fazer o cálculo com o reagente errado. Se o aluno começasse assumindo que a tinta branca acabaria primeiro, chegaria à conclusão de que precisaria de 50 L de tinta vermelha e poderia se confundir, não sabendo como proceder a partir daí.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo mostra que sobrarão 9 litros de tinta branca. Vamos procurar este valor nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 5.
B) 9.
C) 12.
D) 14.
E) 17.
5.2 Justificativa Individual
- A) 5 (🔴): Incorreto. Pode resultar de um erro de cálculo, talvez 30 – (35/5 + 3*5).
- B) 9 (🟢): Correto. Corresponde exatamente à nossa conclusão: sobram 9 litros de tinta branca.
- C) 12 (🔴): Incorreto.
- D) 14 (🔴): Este valor (35 – 21) representaria a “sobra” de tinta vermelha se usássemos 21L de vermelha, mas não há lógica para isso.
- E) 17 (🔴): Incorreto. Sem uma origem clara no cálculo.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se determinar qual das tintas era o fator limitante. Testamos a hipótese de usar toda a tinta vermelha e descobrimos que era viável. Com base nisso, calculamos a quantidade de tinta branca necessária e, por fim, a quantidade que sobraria do estoque inicial.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B), e sobrarão 9 litros de tinta.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de proporção com estoques limitados, sempre identifique o “reagente limitante”. Teste os cenários: “O que acontece se eu usar todo o ingrediente A?” e “O que acontece se eu usar todo o ingrediente B?”. O cenário que for possível com os estoques disponíveis é o que define o resultado.
