Em uma das paredes de um depósito existem compartimentos de mesmo tamanho para armazenamento de caixas de dimensões frontais a e b. A terceira dimensão da caixa coincide com a profundidade de cada um dos compartimentos. Inicialmente as caixas são arrumadas, em cada um deles, como representado na Figura 1.
A fim de aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta de disposição das caixas foi idealizada e está indicada na Figura 2. Essa nova proposta possibilitaria o aumento do número de caixas armazenadas de 10 para 12 e a eliminação de folgas.
É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta?
A) Não, porque a segunda proposta deixa uma folga de 4 cm na altura do compartimento, que é de 12 cm, o que permitiria colocar um número maior de caixas.
B) Não, porque, para aceitar a segunda proposta, seria necessário praticamente dobrar a altura e reduzir à metade a largura do compartimento.
C) Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada perfeitamente no compartimento de 20 cm de altura por 27 cm de largura.
D) Sim, pois efetivamente aumentaria o número de caixas e reduziria o número de folgas para apenas uma de 2 cm na largura do compartimento.
E) Sim, porque a nova disposição de caixas ficaria acomodada perfeitamente no compartimento de 32 cm de altura por 45 cm de largura.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Sistemas de Equações Lineares do 1º Grau
- Geometria Plana (Cálculo de Dimensões)
- Interpretação de Figuras
Tema/Objetivo Geral:
Modelagem de um problema geométrico através de um sistema de equações para verificar a viabilidade de uma proposta e determinar as dimensões de um objeto.
Nível da Questão
Difícil – A questão é considerada difícil porque a sua resolução depende inteiramente da capacidade do aluno de “ler” as duas figuras e traduzir as dimensões totais (horizontal e vertical) em expressões algébricas. Depois, é preciso montar e resolver um sistema de equações lineares, um processo que por si só já é de nível médio. A combinação da abstração geométrica com a manipulação algébrica eleva a dificuldade.
Gabarito
Alternativa E) – Esta alternativa está correta. A troca de arrumação é possível, e a nova disposição se encaixa perfeitamente em um compartimento de 32 cm de altura por 45 cm de largura, dimensões que são consistentes com as duas configurações.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pergunta se a situação descrita é matematicamente possível. Ou seja, existem valores para a e b (as dimensões da caixa) que façam com que ambas as configurações (Figura 1 e Figura 2) caibam em um mesmo compartimento? Se sim, quais são as dimensões desse compartimento?
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é montar um sistema de equações que relacione as dimensões a e b com as dimensões totais do compartimento, e resolvê-lo. Se encontrarmos valores positivos e lógicos para a e b, a troca é possível.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que o compartimento é o mesmo nas duas figuras? Isso significa que a largura total da Figura 1 é igual à largura total da Figura 2, e a altura total da Figura 1 é igual à altura total da Figura 2. Essa igualdade é a chave para montar o nosso sistema de equações!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Sistema de Equações Lineares:
- Definição: É um conjunto de duas ou mais equações com as mesmas incógnitas (a e b, no nosso caso). A solução do sistema é o par de valores que satisfaz todas as equações simultaneamente.
- Método da Substituição: Uma técnica para resolver o sistema. Consiste em isolar uma variável em uma das equações e substituir a expressão encontrada na outra equação. Isso cria uma nova equação com apenas uma variável, que pode ser resolvida.
- Modelagem Geométrica:
- Definição: É o processo de expressar as dimensões e relações de uma figura geométrica usando variáveis e equações.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Temos caixas de dimensões a por b. Em um mesmo espaço (o compartimento), tentamos arrumá-las de duas maneiras diferentes.
- Na Figura 1, empilhamos 10 caixas e sobram umas folgas.
- Na Figura 2, empilhamos 12 caixas, mudando a orientação, e o encaixe fica perfeito, sem folgas.
A pergunta é: essa história faz sentido? É possível existir uma caixa a x b e um compartimento que permitam essas duas arrumações?
3.2 Estratégia Geral
- Analisar a Figura 1: Escrever expressões algébricas para a largura total e a altura total do compartimento com base nas dimensões a e b e nas folgas.
- Analisar a Figura 2: Escrever expressões algébricas para a largura total e a altura total do compartimento, novamente com base em a e b.
- Montar o Sistema: Como o compartimento é o mesmo, igualar a expressão da largura da Figura 1 com a da Figura 2. Fazer o mesmo para as alturas. Isso nos dará um sistema de duas equações com duas incógnitas (a e b).
- Resolver o Sistema: Encontrar os valores de a e b.
- Verificar e Concluir: Se a e b forem valores positivos, a troca é possível. Calcular as dimensões totais do compartimento e comparar com as alternativas.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Expressões da Figura 1
- Largura Total (horizontal): Vemos 5 caixas de lado a enfileiradas, mais uma folga de 2 cm à esquerda e 3 cm à direita.
Largura_1 = 2 + 5a + 3 = 5a + 5 - Altura Total (vertical): Vemos 2 caixas de lado b empilhadas, mais uma folga de 2 cm em cima.
Altura_1 = 2b + 2
Etapa 2: Expressões da Figura 2
- Largura Total (horizontal): Vemos 3 caixas de lado b enfileiradas.
Largura_2 = 3b - Altura Total (vertical): Vemos 4 caixas de lado a empilhadas.
Altura_2 = 4a
Etapa 3: Montar o sistema de equações.
Como o compartimento é o mesmo:
Largura_1 = Largura_2 ⇒ 5a + 5 = 3b (Equação I)
Altura_1 = Altura_2 ⇒ 2b + 2 = 4a (Equação II)
Vamos reorganizar as equações para o formato padrão:
I) 5a – 3b = -5
II) -4a + 2b = -2 (Podemos simplificar dividindo por -2) ⇒ 2a – b = 1
Nosso sistema é:
- 5a – 3b = -5
- 2a – b = 1
Etapa 4: Resolver o sistema pelo método da substituição.
Vamos isolar b na segunda equação, que é mais fácil:
2a – b = 1 ⇒ b = 2a – 1
Agora, substituímos essa expressão para b na primeira equação:
5a – 3*(2a – 1) = -5
5a – 6a + 3 = -5
-a + 3 = -5
-a = -5 – 3
-a = -8
a = 8
Agora que temos a = 8, voltamos à expressão b = 2a – 1 para encontrar b:
b = 2*(8) – 1
b = 16 – 1
b = 15
Encontramos valores positivos para a e b (a=8 cm, b=15 cm), portanto, a troca é possível.
Etapa 5: Calcular as dimensões do compartimento.
Podemos usar as expressões da Figura 2, que são mais simples:
- Altura do Compartimento: 4a = 4 * 8 = 32 cm
- Largura do Compartimento: 3b = 3 * 15 = 45 cm
4.2 Verificação Intermediária
Vamos conferir se as dimensões funcionam para a Figura 1:
- Largura: 5a + 5 = 5*8 + 5 = 40 + 5 = 45 cm. Confere.
- Altura: 2b + 2 = 2*15 + 2 = 30 + 2 = 32 cm. Confere.
Os cálculos estão consistentes.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é errar na “leitura” das figuras e montar as expressões iniciais incorretamente. Por exemplo, esquecer de somar as folgas na Figura 1 ou contar o número de caixas errado. Um pequeno erro aqui invalida todo o resto do cálculo.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossa análise mostra que a troca é possível e que o compartimento mede 32 cm de altura por 45 cm de largura. Esperamos encontrar uma alternativa que afirme isso.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) Não, porque… deixa uma folga de 4 cm…
B) Não, porque… seria necessário dobrar a altura…
C) Sim, porque… ficaria acomodada em 20 cm de altura por 27 cm de largura.
D) Sim, pois… reduziria o número de folgas para apenas uma de 2 cm…
E) Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada perfeitamente no compartimento de 32 cm de altura por 45 cm de largura.
5.2 Justificativa Individual
- A) e B) (🔴): Incorretas. Nossos cálculos provaram que a troca é possível.
- C) (🔴): Incorreto. A primeira parte (“Sim”) está certa, mas as dimensões do compartimento estão erradas.
- D) (🔴): Incorreto. O enunciado afirma que a nova proposta elimina todas as folgas, não que reduz para apenas uma. A justificativa está errada.
- E) (🟢): Correto. Afirma que a troca é possível e apresenta exatamente as dimensões do compartimento que calculamos (32 cm de altura e 45 cm de largura).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi obtida ao traduzir as dimensões visuais de cada figura em expressões algébricas. Ao igualar as expressões de largura e altura das duas figuras, criamos um sistema de equações. A resolução desse sistema nos deu as dimensões da caixa (a e b) e, consequentemente, as dimensões do compartimento.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E).
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas que comparam duas configurações geométricas, a chave é encontrar o que permanece constante. Neste caso, o compartimento era o mesmo. Use essa constância para igualar as expressões de cada configuração e montar seu sistema de equações.
