Os procedimentos de decolagem e pouso de uma aeronave são os momentos mais críticos de operação, necessitando de concentração total da tripulação e da torre de controle dos aeroportos. Segundo levantamento da Boeing, realizado em 2009, grande parte dos acidentes aéreos com vítimas ocorre após iniciar-se a fase de descida da aeronave. Desta forma, é essencial para os procedimentos adequados de segurança monitorar-se o tempo de descida da aeronave.
A tabela mostra a altitude y de uma aeronave, registrada pela torre de controle, t minutos após o início dos procedimentos de pouso.
Considere que, durante todo o procedimento de pouso, a relação entre y e t é linear.
Disponível em: www.meioaereo.com.
De acordo com os dados apresentados, a relação entre y e t é dada por
A) y = – 400 t
B) y = – 2 000 t
C) y = 8 000 – 400 t
D) y = 10 000 – 400 t
E) y = 10 000 – 2 000 t
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função do 1º Grau (Função Afim)
- Interpretação de Tabelas
- Cinemática (Equação Horária da Posição no MRU) – opcional, mas análogo
Tema/Objetivo Geral:
Determinação da equação matemática que descreve uma relação linear a partir de dados apresentados em uma tabela.
Nível da Questão
Fácil – A questão é considerada fácil porque o enunciado afirma explicitamente que a relação é linear, e a tabela fornece múltiplos pontos para verificação. O ponto inicial (t=0) é dado, o que simplifica a determinação do coeficiente linear. O cálculo do coeficiente angular é direto a partir de quaisquer dois pontos da tabela.
Gabarito
Alternativa D) – Esta alternativa está correta. A equação y = 10 000 – 400t descreve perfeitamente a descida da aeronave, partindo de 10.000 metros e diminuindo a altitude a uma taxa constante de 400 metros por minuto.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Considere que, durante todo o procedimento de pouso, a relação entre y e t é linear. […] De acordo com os dados apresentados, a relação entre y e t é dada por…”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para encontrarmos a fórmula matemática (a equação) que representa a relação entre a altitude (y) da aeronave e o tempo (t), com base nos dados da tabela.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é usar os dados da tabela para encontrar os coeficientes de uma função do 1º grau, que modela o movimento de descida da aeronave.
1.4 Pergunta de Atenção
O enunciado deu uma dica de ouro: “a relação entre y e t é linear”. O que isso significa na prática? Significa que a altitude diminui a uma taxa constante, ou seja, a cada minuto que passa, a aeronave perde sempre a mesma quantidade de metros em altitude. Nosso trabalho é descobrir essa taxa!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Função do 1º Grau (ou Função Afim):
- Definição: É uma função que descreve uma relação linear, com a forma geral y = ax + b (ou, no nosso caso, y = at + b).
- Coeficiente Linear (b): Representa o valor inicial, ou seja, o valor de y quando x (ou t) é igual a zero. No contexto de movimento, é a posição inicial.
- Coeficiente Angular (a): Representa a taxa de variação. É o quanto y muda para cada unidade que x (ou t) aumenta. No contexto de movimento, é a velocidade.
- Fórmula: a = (Variação em y) / (Variação em x) = (y2 – y1) / (x2 – x1)
- Analogia com a Física (MRU – Movimento Retilíneo Uniforme):
- A equação que estamos procurando é análoga à equação horária da posição: S = S₀ + vt
- S corresponde à nossa altitude y.
- S₀ corresponde à nossa altitude inicial (b).
- v corresponde à nossa taxa de variação (a).
- t é o tempo.
- A equação que estamos procurando é análoga à equação horária da posição: S = S₀ + vt
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Um avião está pousando. Temos uma tabela que registra a sua altitude em vários momentos. Sabemos que ele desce de forma constante. Nossa tarefa é criar uma fórmula que nos permita saber a altitude do avião em qualquer minuto durante esse pouso.
3.2 Estratégia Geral
- Escrever a forma geral da equação linear: y = at + b.
- Encontrar o coeficiente linear (b): Procurar na tabela o valor da altitude (y) quando o tempo (t) é zero. Este será o nosso b.
- Encontrar o coeficiente angular (a): Escolher quaisquer dois pontos da tabela e usar a fórmula a = (y2 – y1) / (t2 – t1) para calcular a taxa de variação.
- Substituir os valores de a e b na equação geral para obter a fórmula final.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Encontrar o coeficiente linear (b) – a altitude inicial.
O coeficiente linear é o valor de y quando t = 0. Olhando para a primeira coluna da tabela:
- Quando t = 0, y = 10 000.
- Portanto, b = 10 000.
Nossa equação já tem a forma: y = at + 10 000. Agora só falta encontrar o a.
Etapa 2: Encontrar o coeficiente angular (a) – a taxa de variação.
Vamos escolher dois pontos quaisquer da tabela para calcular a taxa. Usaremos os dois primeiros pontos para simplificar:
- Ponto 1: (t1, y1) = (0, 10 000)
- Ponto 2: (t2, y2) = (5, 8 000)
Agora, aplicamos a fórmula do coeficiente angular:
a = (y2 – y1) / (t2 – t1)
a = (8 000 – 10 000) / (5 – 0)
a = -2 000 / 5
a = -400
A taxa de variação é de -400 metros por minuto. O sinal negativo indica que a altitude está diminuindo, o que faz todo o sentido para um avião que está pousando.
Etapa 3: Montar a equação final.
Agora juntamos os valores de a e b:
y = at + b
y = -400t + 10 000
Para ficar igual ao formato das alternativas, podemos reordenar os termos:
y = 10 000 – 400t
4.2 Verificação Intermediária
Vamos testar nossa equação com outro ponto da tabela, por exemplo, t = 15.
y = 10 000 – 400 * (15)
y = 10 000 – 6 000
y = 4 000
Este valor corresponde exatamente ao da tabela para t = 15. Nossa equação está correta.
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha comum é errar o sinal do coeficiente angular. É preciso lembrar que, em uma descida, a variação é negativa. Outro erro seria calcular a taxa de variação incorretamente, por exemplo, (t2-t1) / (y2-y1), o que daria um resultado completamente diferente.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo resultou na equação y = 10 000 – 400t. Vamos procurar esta expressão nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) y = − 400 t
B) y = − 2 000 t
C) y = 8 000 − 400 t
D) y = 10 000 − 400 t
E) y = 10 000 − 2 000 t
5.2 Justificativa Individual
- A) y = − 400 t (🔴): Incorreto. Esta equação não tem o termo inicial (b = 10 000). Ela representaria um avião que parte do chão (altitude zero) e “desce” (o que não faz sentido).
- B) y = − 2 000 t (🔴): Incorreto. Semelhante ao erro da alternativa A, e com a taxa de variação também errada.
- C) y = 8 000 − 400 t (🔴): Incorreto. O coeficiente angular (a = -400) está correto, mas o coeficiente linear (b) está errado. Esta seria a equação se o avião tivesse iniciado o procedimento de pouso em t=5, a partir de 8.000 metros.
- D) y = 10 000 − 400 t (🟢): Correto. Corresponde exatamente à equação que encontramos, com a altitude inicial (b = 10 000) e a taxa de variação (a = -400) corretas.
- E) y = 10 000 − 2 000 t (🔴): Incorreto. A altitude inicial está correta, mas a taxa de variação está errada. O valor -2000 é a variação total de altitude nos primeiros 5 minutos, não a taxa por minuto.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se identificar que o problema descrevia uma função do 1º grau. Usamos o ponto inicial da tabela (t=0) para determinar o coeficiente linear (b) e quaisquer dois pontos para calcular a taxa de variação, ou coeficiente angular (a). Com a e b em mãos, montamos a equação final.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D), com a equação y = 10 000 − 400 t.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para encontrar a equação de uma reta (y = at + b) a partir de uma tabela, o caminho mais rápido é: b é o valor de y quando t=0, e a é a variação de y dividida pela variação de t entre dois pontos quaisquer.
