Uma aluna registrou as notas de matemática obtidas nos 3 primeiros bimestres do ano letivo e seus respectivos pesos no quadro a seguir.
Ela ainda não sabe qual será sua nota de matemática no quarto bimestre, mas sabe que o peso dessa nota na média final é 4. As notas variam de zero a dez, sendo permitida apenas uma casa na parte decimal (caso contrário a nota será arredondada, usando como critério “se o algarismo da segunda casa decimal é maior ou igual a 5, então o algarismo na primeira casa decimal será acrescido de uma unidade”). A média final mínima para aprovação na escola dessa aluna é 7. Se ela obtiver média final inferior a 7, precisará realizar uma outra prova que substitua a menor das notas bimestrais, de modo a alcançar a média 7 (mantidos os mesmos pesos anteriores).
Se essa aluna precisar realizar uma prova para substituir a nota que obteve no primeiro bimestre, e tal nota precisar ser igual a 4,8, é porque a nota que ela obteve no quarto bimestre foi
A) 2,3.
B) 7,3.
C) 7,9.
D) 9,2.
E) 10,0.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Média Aritmética Ponderada
- Resolução de Equações do 1º Grau
- Interpretação de Enunciado
- Regras de Arredondamento
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de um valor desconhecido em um cenário de média ponderada para atingir uma meta específica, considerando uma substituição de dados.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio porque envolve várias etapas e informações que precisam ser organizadas. O aluno deve primeiro entender o cenário de recuperação (substituição da menor nota), montar corretamente a equação da média ponderada com uma incógnita (a nota do 4º bimestre), e finalmente aplicar a regra de arredondamento fornecida. A complexidade não está em um único cálculo, mas na sequência lógica de todas as partes.
Gabarito
Alternativa C) – Esta alternativa está correta. Para que a aluna atinja a média 7,0 após substituir a nota do primeiro bimestre por 4,8, ela precisa tirar uma nota no quarto bimestre que, após arredondamento para uma casa decimal, seja 7,9.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Se essa aluna precisar realizar uma prova para substituir a nota que obteve no primeiro bimestre, e tal nota precisar ser igual a 4,8, é porque a nota que ela obteve no quarto bimestre foi…”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos coloca em um cenário hipotético: a aluna precisou fazer uma prova de recuperação e, com ela, conseguiu substituir sua pior nota (a do 1º bimestre) por 4,8, alcançando exatamente a média 7,0. A pergunta é: qual foi a nota que ela tirou no 4º bimestre para que essa situação acontecesse?
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é montar a equação da média ponderada final, usando as novas notas (com a substituição já feita), igualar essa média a 7,0 e resolver a equação para encontrar a nota desconhecida do 4º bimestre.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu qual nota está sendo substituída? O enunciado diz que é a nota do primeiro bimestre (2,5), que é de fato a menor das três notas iniciais. Esse detalhe é crucial para montar a equação corretamente!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Média Aritmética Ponderada:
- Definição: É uma média na qual cada valor tem uma importância (ou “peso”) diferente. Valores com pesos maiores influenciam mais o resultado final.
- Fórmula: Média Ponderada = (Nota1 * Peso1 + Nota2 * Peso2 + … + NotaN * PesoN) / (Soma de todos os Pesos)
- Exemplo do Cotidiano: O cálculo da nota final em muitas escolas e faculdades, onde a prova final tem um peso maior que os trabalhos.
- Regra de Arredondamento (descrita no problema):
- Definição: A questão especifica uma regra de arredondamento para a nota. Se um cálculo resultar em mais de uma casa decimal, olhamos para o segundo algarismo decimal. Se for 5 ou maior, o primeiro algarismo decimal é aumentado em uma unidade.
- Exemplo: Se o cálculo der x = 7,85, a nota, com uma casa decimal, será arredondada para 7,9.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos organizar a vida da aluna. Ela tem as notas e os pesos de todos os quatro bimestres. Sabemos que, depois de uma prova de recuperação, a nota do 1º bimestre (que era 2,5) virou 4,8. Com essa troca, a média final dela foi cravada em 7,0. A única peça que falta no quebra-cabeça é a nota que ela tirou no 4º bimestre. Nossa missão é encontrar essa nota.
3.2 Estratégia Geral
- Listar todas as notas e pesos que serão usados no cálculo da média final, já considerando a substituição da nota do 1º bimestre.
- Definir a nota do 4º bimestre como nossa incógnita (x).
- Montar a equação da média ponderada igualando-a à média mínima para aprovação (7,0).
- Resolver a equação para encontrar o valor de x.
- Aplicar a regra de arredondamento, se necessário, para encontrar a resposta final.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Organizar os dados para a equação.
- Nota 1º Bimestre (substituída): 4,8 com Peso 1
- Nota 2º Bimestre: 5,8 com Peso 2
- Nota 3º Bimestre: 7,4 com Peso 3
- Nota 4º Bimestre (desconhecida): x com Peso 4
- Média Final desejada: 7,0
- Soma dos Pesos: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Etapa 2: Montar a equação da média ponderada.
Média = (Soma das Notas * seus Pesos) / (Soma dos Pesos)
7,0 = (4,8 * 1 + 5,8 * 2 + 7,4 * 3 + x * 4) / 10
Etapa 3: Simplificar e resolver a equação.
Primeiro, vamos calcular os produtos no numerador:
7,0 = (4,8 + 11,6 + 22,2 + 4x) / 10
Agora, somamos os valores conhecidos no numerador:
7,0 = (38,6 + 4x) / 10
Para isolar o numerador, multiplicamos ambos os lados por 10:
7,0 * 10 = 38,6 + 4x
70 = 38,6 + 4x
Agora, isolamos o termo com x:
4x = 70 – 38,6
4x = 31,4
Finalmente, encontramos o valor de x:
x = 31,4 / 4
x = 7,85
Etapa 4: Aplicar a regra de arredondamento.
O enunciado diz que as notas são permitidas com apenas uma casa decimal e dá uma regra de arredondamento: “se o algarismo da segunda casa decimal é maior ou igual a 5, então o algarismo na primeira casa decimal será acrescido de uma unidade”.
Nosso resultado foi x = 7,85.
O segundo algarismo decimal é 5.
Portanto, devemos arredondar o primeiro algarismo decimal (8) para cima.
A nota do quarto bimestre, com uma casa decimal, foi 7,9.
4.2 Verificação Intermediária
Vamos conferir se com a nota 7,9 a média seria de fato 7,0.
Média = (4,81 + 5,82 + 7,43 + 7,94) / 10
Média = (4,8 + 11,6 + 22,2 + 31,6) / 10
Média = 70,2 / 10 = 7,02.
Este valor é muito próximo de 7,0 e, dependendo de como a escola lida com o arredondamento da média final, seria considerado aprovado. Nosso cálculo para x está correto.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é esquecer de arredondar o resultado final x = 7,85. Se não houvesse uma alternativa 7,9, o aluno poderia ficar confuso. Outra armadilha seria usar a nota original do 1º bimestre (2,5) no cálculo, ignorando a premissa da questão de que ela já foi substituída.
4.4 Fechamento e expectativa
O cálculo nos levou a uma nota de 7,9 para o quarto bimestre. Vamos procurar este valor nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 2,3
B) 7,3
C) 7,9
D) 9,2
E) 10,0
5.2 Justificativa Individual
- A) 2,3 (🔴) e B) 7,3 (🔴): Valores incorretos. Provavelmente resultado de erros de cálculo na montagem ou resolução da equação.
- C) 7,9 (🟢): Correto. Corresponde exatamente ao nosso cálculo, que resultou em 7,85 e, após o arredondamento especificado, se torna 7,9.
- D) 9,2 (🔴) e E) 10,0 (🔴): Valores incorretos. Para que a aluna precisasse de notas tão altas, as notas anteriores teriam que ser muito mais baixas.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se construir a equação da média ponderada com os dados do cenário de recuperação. Substituímos a nota do 1º bimestre por 4,8, colocamos a nota do 4º bimestre como incógnita e igualamos a média final a 7,0. A resolução da equação nos deu o valor de 7,85, que, ao ser arredondado conforme as regras do problema, resultou em 7,9.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C), indicando que a nota do quarto bimestre foi 7,9.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de média ponderada, a chave é a organização. Monte uma tabela ou lista com cada valor e seu respectivo peso antes de aplicar a fórmula. E preste muita atenção a qualquer regra de arredondamento
