O apresentador de um programa de auditório propôs aos participantes de uma competição a seguinte tarefa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente em um terreno destinado à realização da competição. A pontuação dos competidores seria calculada ao final do tempo destinado a cada um dos participantes, no qual as moedas coletadas por eles seriam contadas e a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: pontuação = 60 – 36 (60% de 60) = 24. O vencedor da prova seria o participante que alcançasse a maior pontuação.
Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova?
A) 0
B) 25
C) 50
D) 75
E) 100
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Interpretação de Enunciado
- Função do 2º Grau (Função Quadrática)
- Cálculo do Vértice da Parábola (Ponto de Máximo)
Tema/Objetivo Geral:
Modelagem matemática de um problema e otimização através do cálculo do valor máximo de uma função quadrática.
Nível da Questão
Médio – A questão é considerada de nível médio pois exige duas habilidades principais: primeiro, a capacidade de traduzir um texto (a regra do jogo) em uma expressão matemática (uma função do 2º grau). Segundo, exige o conhecimento sobre como encontrar o valor máximo dessa função, que é um conceito específico de funções quadráticas (o vértice da parábola). Não é um cálculo direto, requer interpretação e modelagem.
Gabarito
Alternativa B) – A alternativa está correta porque a regra de pontuação descrita forma uma função do 2º grau com concavidade para baixo. O ponto mais alto dessa função (o vértice) corresponde à pontuação máxima, que é 25.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para descobrirmos qual é a maior pontuação possível que um jogador pode fazer, seguindo a regra de cálculo estabelecida.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é criar uma fórmula (uma função) que represente a pontuação do jogador e, em seguida, encontrar o valor máximo que essa fórmula pode atingir.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que pegar mais moedas nem sempre é melhor? A partir de um certo ponto, a “multa” percentual fica tão alta que sua pontuação começa a diminuir. Nosso trabalho é achar esse “ponto doce”!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Função do 2º Grau (ou Função Quadrática):
- Definição: É toda função que pode ser escrita na forma y = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a é diferente de zero. O seu gráfico é uma curva chamada parábola.
- Exemplo: y = 2x² – 3x + 5 é uma função quadrática.
- Gráfico da Parábola e Ponto de Máximo/Mínimo:
- Concavidade: A “boca” da parábola pode ser virada para cima ou para baixo.
- Se o coeficiente a for positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima (parece um “sorriso” 🙂) e possui um ponto de mínimo.
- Se o coeficiente a for negativo (a < 0), a parábola tem concavidade para baixo (parece uma “carinha triste” 🙁) e possui um ponto de máximo.
- Vértice da Parábola: É o ponto exato onde a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo. Suas coordenadas são dadas por (Xv, Yv).
- Xv (coordenada x do vértice): Informa em que ponto o máximo/mínimo ocorre. A fórmula é: Xv = -b / (2*a).
- Yv (coordenada y do vértice): Informa qual é o valor máximo/mínimo. A fórmula é: Yv = -Δ / (4*a), onde Δ = b² – 4*a*c.
- Alternativa para achar o Yv: Uma vez que você encontra o Xv, pode simplesmente substituí-lo na função original para encontrar o Yv. Yv = a*(Xv)² + b*(Xv) + c.
- Concavidade: A “boca” da parábola pode ser virada para cima ou para baixo.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine o seguinte: você ganha pontos por cada moeda que coleta, mas, ao mesmo tempo, você “paga uma multa”. Essa multa é uma porcentagem igual ao número de moedas que você pegou. Se pegar 10 moedas, a multa é de 10%. Se pegar 50, a multa é de 50%. Queremos encontrar o número de moedas que nos dá o maior saldo (Pontos Ganhos – Multa Paga).
3.2 Estratégia Geral
- Vamos definir variáveis para a pontuação e para o número de moedas.
- Escreveremos a regra do jogo como uma equação matemática.
- Identificaremos que essa equação é uma função do 2º grau e encontraremos seus coeficientes a, b e c.
- Como a questão pede a pontuação máxima, calcularemos o Yv (coordenada Y do vértice) da nossa função.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Primeiro, vamos montar a função.
Vamos chamar a pontuação de P e o número de moedas coletadas de x.
A regra diz: Pontuação = (Número de moedas) – (Porcentagem de valor igual ao número de moedas)
Traduzindo para a nossa variável x:
P = x – (x% de x)
Agora, vamos escrever “x% de x” matematicamente. Lembre-se que x% é o mesmo que x / 100.
P(x) = x – (x / 100) * x
Simplificando a expressão:
P(x) = x – x² / 100
Agora, vamos organizar a função no formato padrão ax² + bx + c:
P(x) = (-1/100)x² + 1x + 0
Identificando os coeficientes:
- a = -1/100
- b = 1
- c = 0
Como o coeficiente a (-1/100) é negativo, sabemos que a parábola tem concavidade para baixo e, portanto, um ponto de máximo. A pontuação máxima será o Yv.
Vamos calcular o Xv primeiro (o número de moedas que gera a pontuação máxima):
Xv = -b / (2 * a)
Xv = -1 / (2 * (-1/100))
Xv = -1 / (-2 / 100)
Xv = 1 / (2 / 100)
Xv = 1 * (100 / 2)
Xv = 50
Isso significa que a pontuação máxima é alcançada quando o participante coleta 50 moedas.
Agora, vamos calcular a pontuação máxima (Yv) substituindo x = 50 na nossa função:
P(50) = 50 – (50² / 100)
P(50) = 50 – (2500 / 100)
P(50) = 50 – 25
P(50) = 25
A pontuação máxima possível é 25.
4.2 Verificação Intermediária
O exemplo do enunciado diz que com 60 moedas, a pontuação é 24. Com o nosso cálculo do Xv = 50, faz sentido que um valor um pouco afastado do ótimo (como 60) tenha uma pontuação ligeiramente menor (24) do que o máximo (25). Isso fortalece nosso resultado.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais perigosa aqui é confundir o Xv com o Yv. Você calcula Xv = 50 e, na pressa, marca a alternativa C) 50. Lembre-se sempre:
- Xv responde à pergunta: “Quantas moedas preciso para a pontuação máxima?”
- Yv responde à pergunta: “Qual é a pontuação máxima?”
A questão pede o “limite máximo de pontos”, ou seja, o Yv.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossos cálculos mostram que a pontuação máxima é 25. Agora, vamos confirmar isso analisando as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 0
B) 25
C) 50
D) 75
E) 100
5.2 Justificativa Individual
- A) 0 (🔴): A pontuação 0 é atingida se o jogador coletar 0 moedas (0 – 0 = 0) ou 100 moedas (100 – 100% de 100 = 100 – 100 = 0). É uma pontuação possível, mas não é a máxima.
- B) 25 (🟢): Corresponde exatamente ao valor que calculamos para o Yv, a pontuação máxima da função.
- C) 50 (🔴): Este é o valor de Xv, ou seja, o número de moedas que leva à pontuação máxima, e não a pontuação máxima em si. É a principal armadilha da questão.
- D) 75 (🔴): Não há um cálculo lógico que leve a este resultado. É um valor arbitrário.
- E) 100 (🔴): Este valor representa o número de moedas que resulta em pontuação zero, não o máximo de pontos.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido ao traduzir a regra de pontuação para uma função quadrática. Ao identificar que essa função tinha um ponto de máximo, calculamos as coordenadas do seu vértice, onde Xv nos deu o número ideal de moedas e Yv nos deu a pontuação máxima possível.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B), e o limite máximo de pontos é 25.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para problemas de otimização (encontrar um valor máximo ou mínimo), transforme a situação em uma função. Se for uma função quadrática, o vértice é a sua resposta: Xv diz “quando” e Yv diz “quanto”.
