Em uma aula de matemática, a professora propôs que os alunos construíssem um cubo a partir da planificação em uma folha de papel, representada na figura a seguir.
Após a construção do cubo, apoiou-se sobre a mesa a face com a letra M.
As faces paralelas deste cubo são representadas pelos pares de letras:
A) E-N, E-M e B-R.
B) B-N, E-E e M-R.
C) E-M, B-N e E-R.
D) B-E, E-R e M-N.
E) E-N, B-M e E-R.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Planificação de Sólidos, Cubo)
- Raciocínio Lógico-Espacial
🎯 Tema/Objetivo Geral: Identificação de faces opostas em um cubo a partir de sua planificação.
📊 Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão exige a habilidade de visualizar mentalmente a montagem de um sólido 3D a partir de uma representação 2D (planificação). A disposição das faces na planificação não é a mais convencional, o que pode aumentar a dificuldade da visualização espacial.
✅ Gabarito: Alternativa C.
- Resumo: Para encontrar as faces opostas em uma planificação de cubo, a regra geral é que elas são separadas por uma outra face no “caminho reto”. Aplicando essa lógica à planificação dada, identificamos os pares opostos: o E de cima com o M, o N com o B, e o E do meio com o R.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“As faces paralelas deste cubo são representadas pelos pares de letras…”
O que está sendo pedido?
A questão pede para identificarmos quais são os pares de faces que ficarão opostas uma à outra (paralelas) quando o cubo for montado a partir da planificação mostrada.
Objetivo Cristalino 🎯
Nosso objetivo é “dobrar” mentalmente a planificação e ver quais faces ficam de frente uma para a outra. A informação de que a face M foi apoiada na mesa é um distrator; não é necessária para resolver o problema, que é sobre a estrutura do cubo em si.
🧠 Pense em um dado. O 1 é oposto ao 6, o 2 é oposto ao 5, e o 3 é oposto ao 4. Entre duas faces opostas, sempre há uma outra face no meio. Podemos usar essa regra para “ler” a planificação.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Cubo: Um sólido geométrico com 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices. Em um cubo, as faces opostas são sempre paralelas.
- Planificação: É a representação de um sólido geométrico em um plano, como se ele tivesse sido “desmontado” e aberto.
- Identificação de Faces Opostas: Em uma planificação de um cubo, a maneira mais fácil de identificar faces opostas é procurar por faces que estão separadas por exatamente uma outra face, em uma linha reta de quadrados. Faces que se tocam por uma aresta ou por um vértice na planificação serão adjacentes (vizinhas) no cubo montado, nunca opostas.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos um molde de papel para montar um dado com letras em vez de números. A gente precisa descobrir quais letras ficarão em lados opostos do dado depois que ele for montado. Por exemplo, se a letra ‘M’ estiver no fundo, qual letra ficará no topo? Se ‘N’ estiver na frente, qual ficará atrás?
Estratégia Geral 🗺️
- Escolher uma face como base.
- “Dobrar” mentalmente as faces adjacentes para cima para formar as laterais.
- Identificar qual face se tornará a “tampa” (a face oposta à base).
- Repetir o processo para as outras faces laterais.
- Ou, de forma mais rápida, usar a regra de “pular uma casa” na planificação.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado
Método 1: Visualização da Dobradura
- Imagine a face M como o fundo do cubo, apoiada na mesa.
- Dobre as faces E (do meio) e B para cima. Elas se tornarão duas paredes laterais.
- Dobre a face R para cima, ela se conectará à face B e se tornará outra parede lateral.
- Agora, na outra ponta, dobre a face N para cima. Ela se tornará a quarta parede lateral.
- Finalmente, a face E (de cima) será dobrada para fechar a caixa, tornando-se a tampa.
- Conclusão 1: A face E (de cima) é oposta à face M. Par: (E-M).
- Olhando as paredes laterais: A parede N ficou de frente para a parede B.
- Conclusão 2: A face N é oposta à face B. Par: (N-B).
- As paredes restantes são a E (do meio) e a R. Elas ficaram de frente uma para a outra.
- Conclusão 3: A face E (do meio) é oposta à face R. Par: (E-R).
Método 2: Regra de “Pular uma Casa”
Esta regra é mais rápida e menos propensa a erros de visualização.
- Olhe para a “coluna” principal da planificação, que é E – N – E – M. Pegue o primeiro E (de cima). Pule uma casa (o N). Você chega no segundo E. A regra não funciona bem aqui por causa da disposição em “escada”. A melhor forma é ver a espinha dorsal reta E-N-E-M. Não, a espinha dorsal é na diagonal.
Vamos reavaliar a regra para essa planificação em “escada”.
- Vamos focar no quadrado central, o que tem a letra E (do meio). As faces que se conectam diretamente a ele (N, M, B) serão adjacentes a ele.
- Pegue a face E (de cima). Ela se conecta ao N. Pule o N. Ela não se conecta a mais nada em linha reta.
- Vamos tentar de novo com a regra “pule uma casa” na estrutura diagonal:
- Pegue o E (de cima). Pule a casa do meio (N e E). Você chega na casa de baixo (M e B). A oposta de E é M. Par: (E-M).
- Pegue a casa N. Pule a casa do meio (E e M). Você chega na casa de baixo (B e R). A oposta de N é B. Par: (N-B).
- Sobram as duas faces que não usamos: o E (do meio) e o R. Elas formam o último par oposto. Par: (E-R).
Síntese dos Pares Opostos:
Os três pares de faces paralelas são: (E, M), (N, B) e (E, R).
Fechamento e expectativa
Procuramos a alternativa que contenha exatamente esses três pares.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) E-N, E-M e B-R.
Incorreta. E e N são adjacentes.
🔴 B) B-N, E-E e M-R.
Incorreta. E e E não são opostos, e M e R são adjacentes.
🟢 C) E-M, B-N e E-R.
Correta. Contém os três pares que identificamos: (E de cima oposto a M), (B oposto a N) e (E do meio oposto a R).
🔴 D) B-E, E-R e M-N.
Incorreta. B e E (do meio) são adjacentes.
🔴 E) E-N, B-M e E-R.
Incorreta. E e N são adjacentes, B e M também.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
Para determinar as faces opostas de um cubo a partir de sua planificação, pode-se visualizar mentalmente o processo de dobradura ou aplicar a regra de que faces opostas são geralmente separadas por uma outra face. Ao realizar esse processo com a planificação dada, identifica-se que o “E” superior é oposto ao “M”; o “N” é oposto ao “B”; e o “E” central é oposto ao “R”. A única alternativa que contém esses três pares corretos é a C.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão
A forma mais segura de resolver problemas de planificação é identificar uma face para ser a base. As faces diretamente conectadas a ela serão as paredes laterais. A face que “pula uma casa” em relação à base será a tampa. As paredes que ficarem de frente uma para a outra serão os outros pares opostos.
