Questão 180 caderno azul ENEM 2012 Dia 2

Questão 180 – Geometria Espacial

A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%.

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).

Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é

A) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento de seu lado.

B) 36% menor que V, porque a área da base diminui de a² para ((1 − 0,2)a)².

C) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a³ para (0,8a)³.

D) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original.

E) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Geometria Espacial (Volume de Cubo)
Porcentagem (Cálculo de Descontos e Variação Percentual)
Álgebra (Potenciação)

🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo da variação percentual do volume de um cubo a partir de uma variação percentual em suas dimensões lineares.

🎯 Nível da Questão: Médio – A questão é considerada de nível médio porque envolve um raciocínio que não é linear. A armadilha de pensar que uma redução de 20% no lado leva a uma redução de 20% no volume é muito comum. O aluno precisa entender que a redução de volume é tridimensional e, portanto, o fator de redução (0,8) deve ser aplicado três vezes (elevado ao cubo).

✅ Gabarito: C) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a³ para (0,8a)³. A alternativa está correta. Uma redução linear de 20% significa que a nova aresta é 0,8a. O novo volume é (0,8a)³, que resulta em 0,512a³. Isso representa 51,2% do volume original, ou seja, uma redução de 100% – 51,2% = 48,8%.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Transcrição Essencial 📌
“Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é”

O que está sendo pedido?📌
A questão nos pede para calcular a redução percentual no volume de um cubo quando suas arestas (lados) diminuem 20% em comprimento.

Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é: 1) Calcular o novo volume do cubo em função do volume original (V). 2) Determinar a porcentagem de redução a partir dessa relação.

Pergunta de Atenção ✔
Se o lado de um quadrado diminui 20%, a área dele também diminui 20%? Não! A redução na área é maior. A mesma lógica se aplica ao volume, só que de forma ainda mais acentuada. Por quê?

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Contéudos Necessários

Explicação de termos📌
Para resolver este problema, precisamos ser especialistas em:

Volume de um Cubo:
- Explicação: O volume de um cubo é calculado multiplicando-se a medida de sua aresta (lado) por ela mesma, três vezes.
- Fórmula: V = a³ (onde a é a aresta).

Contração em Dimensões Lineares:
- Explicação: “Linear” refere-se a medidas de comprimento (uma dimensão), como a aresta do cubo. Uma contração de 20% significa que o novo comprimento será 20% menor que o original.

Cálculo de Redução Percentual:
- Fator Multiplicativo: A maneira mais fácil de calcular uma redução é usando um fator. Se algo diminui 20%, significa que resta 100% – 20% = 80% do valor original. Para usar isso em um cálculo, transformamos a porcentagem em decimal: 80% = 0,8.
- Fórmula: Valor Final = Valor Inicial × Fator de Redução
- No Problema: Nova Aresta = Aresta Original × 0,8

Variação Percentual:
- Explicação: Para encontrar a porcentagem de redução, calculamos a razão entre o valor final e o valor inicial. Se o resultado for, por exemplo, 0,512, isso significa que o valor final é 51,2% do inicial. A redução foi de 100% – 51,2% = 48,8%.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

Contextualização Simplificada 📌
Imagine que temos um cubo de gelo com lado medindo “a”. O volume dele é a³. Agora, colocamos esse cubo para derreter um pouco, de forma que cada um de seus lados (comprimento, largura e altura) diminua 20%. A pergunta é: o volume do novo cubinho de gelo será quanto por cento menor que o volume do cubo original?

Estratégia Geral 📌
A estratégia é comparar o volume “antes” e “depois”:

Escrever a fórmula do Volume Inicial (V_inicial).
Determinar a Nova Aresta (a_nova): Aplicar a redução de 20% à aresta original a.
Calcular o Novo Volume (V_novo): Usar a nova aresta na fórmula do volume do cubo.
Calcular a Redução Percentual: Comparar o novo volume com o inicial para encontrar a porcentagem que foi perdida.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

Passo a Passo Detalhado 📌

1. Volume Inicial (V_inicial):

O cubo tem aresta a.
V_inicial = a³

2. Nova Aresta (a_nova):

A aresta original a sofre uma contração de 20%.
O novo comprimento será 100% – 20% = 80% do comprimento original.
Convertendo 80% para decimal: 0,8.
a_nova = 0,8 * a

3. Novo Volume (V_novo):

O novo volume é calculado com a nova aresta:
V_novo = (a_nova)³
Substituindo a_nova:
V_novo = (0,8 * a)³
Usando a propriedade de potência de um produto (x*y)ⁿ = xⁿ*yⁿ:
V_novo = (0,8)³ * a³
Vamos calcular (0,8)³:
0,8³ = 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,64 * 0,8 = 0,512
Substituindo de volta:
V_novo = 0,512 * a³

Verificação Intermediária 📌
Até aqui, descobrimos que o novo volume é 0,512 vezes o volume original (já que V_inicial = a³).

4. Calcular a Redução Percentual:

O novo volume é 0,512 do volume original. Em porcentagem, isso é 51,2%.
Se o novo volume é 51,2% do original, a redução foi a diferença em relação a 100%.
Redução (%) = 100% – 51,2%
Redução (%) = 48,8%

Conclusão: O volume diminui em 48,8%.

Possível armadilha ❓/ ✔
A armadilha mais perigosa é o pensamento linear.

Armadilha 1 (Alternativa E): Pensar que a redução é de 3 * 20% = 60%. Incorreto. As porcentagens não podem ser somadas dessa forma quando se trata de volume.
Armadilha 2 (Alternativa A): Pensar que a redução é de apenas 20%. Isso ignora que a redução de 20% acontece em três dimensões (comprimento, largura e altura), e o efeito é composto.
Armadilha 3 (Alternativa D): A alternativa D (51,2%) representa o volume restante, não a diminuição de volume. É uma armadilha para quem para o cálculo na etapa anterior.

Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a uma redução de 48,8%. Esperamos encontrar uma alternativa que cite esse valor e, idealmente, justifique-o com o cálculo do novo volume.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

Listagem das Alternativas
A) 20% menor que V…
B) 36% menor que V…
C) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a³ para (0,8a)³.
D) 51,2% menor que V…
E) 60% menor que V…

Justificativa Individual

🔴 A) 20% menor que V…: Incorreta. Erro de raciocínio linear.
🔴 B) 36% menor que V…: Incorreta. 36% seria a redução na área de uma face, não no volume. (Nova área = (0,8a)² = 0,64a². Redução = 1 – 0,64 = 0,36 = 36%).
🟢 C) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a³ para (0,8a)³: Correta. Apresenta o percentual de redução correto (48,8%) e a justificativa matemática precisa que leva a esse resultado.
🔴 D) 51,2% menor que V…: Incorreta. 51,2% é o percentual do volume que restou, não o que foi perdido.
🔴 E) 60% menor que V…: Incorreta. Erro de somar as porcentagens (20% + 20% + 20%).

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

Resumo do Raciocínio 📌
Uma contração linear de 20% na aresta a de um cubo resulta em uma nova aresta 0,8a. O novo volume é, portanto, (0,8a)³ = 0,512a³. Como o volume original era a³, o novo volume corresponde a 51,2% do original. A redução do volume é a diferença, 100% – 51,2% = 48,8%.

Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é a C) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a³ para (0,8a)³.

Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar: A variação percentual em área ou volume não é linear! Se a dimensão linear muda por um fator k (no nosso caso, k=0,8), a área muda por um fator k² (0,8² = 0,64) e o volume muda por um fator k³ (0,8³ = 0,512).