Questão 165 caderno azul ENEM 2012 Dia 2

João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.

O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C.

O desenho que Bruno deve fazer é

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Geometria Espacial (Pirâmides)
Geometria Descritiva (Projeção Ortogonal)
Visualização Espacial

🎯 Tema/Objetivo Geral: Projeção ortogonal de um trajeto tridimensional sobre um plano.

🎯 Nível da Questão: Médio – A questão é considerada de nível médio pois exige uma boa capacidade de visualização espacial. Não envolve cálculos complexos, mas sim a habilidade de “achatar” mentalmente um caminho 3D sobre um plano 2D, entendendo como cada segmento do trajeto se comporta quando projetado.

✅ Gabarito: C. A alternativa está correta pois a projeção do trajeto A→E vai do vértice A ao centro da base; a projeção de E→M vai do centro da base ao ponto M; e a projeção de M→C, que já está na base, é o próprio segmento MC.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Transcrição Essencial 📌
“…Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.”

O que está sendo pedido?📌
A questão nos pede para descobrir qual das figuras (A, B, C, D ou E) representa a “sombra” no chão do caminho que uma pessoa faria sobre a superfície da pirâmide, seguindo o trajeto A → E → M → C.

Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é determinar a forma da projeção ortogonal do trajeto tridimensional descrito sobre o plano da base quadrada ABCD.

Pergunta de Atenção ✔
Você já olhou um mapa e viu o caminho para subir uma montanha? A subida, que é inclinada, no mapa parece uma linha reta indo da base em direção ao pico. Essa ideia de “ver de cima” é a chave para resolver o problema!

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

Explicação de termos📌
Para resolver este desafio de visualização, precisamos entender alguns conceitos:

Pirâmide de Base Quadrada:
- Explicação: É um sólido geométrico com uma base em formato de quadrado (ABCD) e quatro faces triangulares que se encontram em um ponto comum no topo, chamado de ápice ou vértice (E).

Projeção Ortogonal:
- Explicação: É o processo de “achatar” uma figura 3D em um plano 2D, como se estivéssemos olhando para ela exatamente de cima (ou de lado). Imagine uma luz vindo do alto, perfeitamente na vertical; a sombra que o objeto faz no chão é a sua projeção ortogonal.
- Regras da Projeção no Plano da Base:
  1. Um ponto que já está na base (como A, B, C, D, M) tem como projeção ele mesmo.
  2. Um ponto que está fora da base (como o ápice E) tem como projeção o ponto no chão que está exatamente abaixo dele. Em uma pirâmide regular como a da figura, o ápice E está diretamente acima do centro da base quadrada.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

Contextualização Simplificada 📌
Imagine que somos um drone voando bem alto, exatamente sobre o topo da pirâmide, olhando para baixo. Uma formiga começa a andar no ponto A, sobe pela aresta até o topo E, desce pela face até o ponto M (meio do lado BC) e depois anda pela borda até o ponto C. Nossa tarefa é desenhar o caminho que a formiga parece fazer, visto da nossa perspectiva de cima.

Estratégia Geral 📌
A melhor maneira de resolver isso é “projetar” o caminho pedaço por pedaço:

Primeiro, descobrir qual é a projeção do trajeto A → E.
Depois, descobrir qual é a projeção do trajeto E → M.
Por fim, descobrir qual é a projeção do trajeto M → C.
Juntar os três “pedaços” de projeção para formar o desenho final.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar nossa estratégia, analisando cada segmento do deslocamento:

1. Projeção do Trajeto A → E:

O ponto de partida é A. Como A já está no plano da base, sua projeção é o próprio ponto A.
O ponto de chegada é E (o ápice). Como E está diretamente acima do centro da base, sua projeção é o centro do quadrado ABCD. Vamos chamar esse centro de O.
Portanto, a projeção do trajeto A → E é um segmento de reta que liga o canto A ao centro O da base.

2. Projeção do Trajeto E → M:

O ponto de partida é E. Sua projeção é o centro da base, O.
O ponto de chegada é M. Como M é o ponto médio do lado BC e já está na base, sua projeção é o próprio ponto M.
Portanto, a projeção do trajeto E → M é um segmento de reta que liga o centro O ao ponto M.

3. Projeção do Trajeto M → C:

O ponto de partida é M e o ponto de chegada é C.
Como ambos os pontos, M e C, já estão no plano da base, o trajeto entre eles já está no chão.
Portanto, a projeção do trajeto M → C é o próprio segmento de reta MC.

Juntando as Projeções:

O desenho final no plano da base será a união dos três segmentos que encontramos: A → O → M → C.

Verificação Intermediária 📌
Vamos visualizar o caminho A → O → M → C no quadrado da base:

Começa no canto A e vai em linha reta até o centro do quadrado.
Do centro, vai em linha reta até o meio do lado BC.
Do meio do lado BC, continua em linha reta até o canto C.
Esse desenho corresponde exatamente à forma mostrada na alternativa C.

Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é a confusão entre o caminho 3D real e sua projeção 2D. Você poderia pensar que a subida de A para E seria uma linha vertical no desenho, ou que o caminho inteiro deveria seguir as bordas da base, como na alternativa A. É crucial manter a perspectiva de “olhar de cima” para entender como as subidas e descidas se transformam em movimentos horizontais na projeção.

Fechamento e expectativa
Nossa análise, projetando cada parte do caminho separadamente, nos levou a uma forma idêntica à da alternativa C.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

Listagem das Alternativas
A) Desenho A
B) Desenho B
C) Desenho C
D) Desenho D
E) Desenho E

Justificativa Individual

🔴 A): Incorreto. Este desenho representa um caminho que se move apenas sobre as arestas ou paralelas às arestas da base, ignorando completamente a subida e descida pelo ápice E.
🔴 B): Incorreto. O primeiro segmento (projeção de A→E) está correto, indo até o centro. Porém, o segundo segmento vai do centro diretamente para C, ignorando a parada no ponto M.
🟢 C): Correta. Este desenho representa perfeitamente a sequência de projeções que encontramos: do vértice A para o centro da base (projeção de A→E), do centro para o ponto médio M do lado BC (projeção de E→M), e do ponto M para o vértice C (projeção de M→C).
🔴 D): Incorreto. Este é simplesmente o desenho da diagonal AC. Ignora todo o trajeto que passa pelo ápice E e pelo ponto M.
🔴 E): Incorreto. O primeiro segmento (projeção de A→E) está correto, mas a segunda parte do trajeto está distorcida e não corresponde à projeção de E→M→C.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

Resumo do Raciocínio 📌
Para encontrar o desenho correto, projetamos cada parte do trajeto 3D no plano da base. A subida de A até o ápice E se projeta como uma linha do canto A até o centro da base. A descida de E até o ponto M se projeta como uma linha do centro até o meio do lado BC. O trecho final, de M a C, já está na base e se projeta sobre si mesmo. A junção desses três segmentos forma a figura da alternativa C.

Gabarito Reafirmado 📌
O desenho que Bruno deve fazer é o da Alternativa C.

Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar: A chave em problemas de projeção é pensar na “sombra”. A sombra do topo da pirâmide (ápice) cai no centro da base. Qualquer caminho que sobe ou desce do topo terá sua sombra começando ou terminando no centro da base.

[nav_alfabetica_posts]