A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é:
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Proporcionalidade Direta e Inversa)
- Álgebra (Montagem de Fórmulas e Expressões Algébricas)
- Interpretação de Texto
🎯 Tema/Objetivo Geral: Tradução de uma descrição verbal de relações de proporcionalidade para uma fórmula matemática.
📊 Nível da Questão: Fácil.
- Por quê? A questão é uma aplicação direta das definições de proporcionalidade direta e inversa. Não há cálculos a serem feitos, apenas a montagem da expressão seguindo as regras dadas no enunciado.
✅ Gabarito: Alternativa A.
- Resumo: A fórmula é construída colocando os termos diretamente proporcionais no numerador (multiplicando k) e os termos inversamente proporcionais no denominador.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é…”
O que está sendo pedido? ❓
A questão nos pede para transformar a descrição em português das relações entre a resistência S e as outras variáveis (b, d, x, k) em uma única fórmula matemática.
Objetivo Cristalino 🎯
Nosso objetivo é montar a expressão para S, seguindo duas regras simples de proporcionalidade.
🧠 Quando algo é “diretamente proporcional”, ele fica em que parte da fração: no numerador (em cima) ou no denominador (embaixo)? E quando é “inversamente proporcional”? Lembrar dessa regra básica resolve a questão instantaneamente.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definição de Termos 🔖
- Proporcionalidade Direta: Dizemos que uma grandeza Y é diretamente proporcional a uma grandeza X se, quando X aumenta, Y também aumenta na mesma proporção (e vice-versa). Matematicamente, isso é representado por uma multiplicação.
- Y = k . X
- Na fórmula: Termos diretamente proporcionais ficam no numerador.
- Proporcionalidade Inversa: Dizemos que uma grandeza Y é inversamente proporcional a uma grandeza X se, quando X aumenta, Y diminui na proporção inversa (e vice-versa). Matematicamente, isso é representado por uma divisão.
- Y = k / X
- Na fórmula: Termos inversamente proporcionais ficam no denominador.
- Constante de Proporcionalidade (k): É um valor fixo que ajusta a relação entre as variáveis.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
A questão nos dá a “receita” para a resistência S de uma viga:
- Ela aumenta junto com a largura b.
- Ela aumenta muito mais rápido junto com a altura d (com o quadrado da altura, d²).
- Ela diminui muito rápido quando o comprimento x aumenta (com o quadrado do comprimento, x²).
Nossa tarefa é escrever a fórmula matemática que representa essa receita.
Estratégia Geral 🗺️
- Começar a fórmula com S = k . ….
- Colocar todos os termos diretamente proporcionais multiplicando no numerador.
- Colocar todos os termos inversamente proporcionais dividindo no denominador.
⚙️ Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Identificar as Relações de Proporcionalidade no Enunciado:
- “S […] é diretamente proporcional à sua largura (b)” → b vai para o numerador.
- “S […] é diretamente proporcional […] ao quadrado de sua altura (d)” → d² vai para o numerador.
- “S […] é inversamente proporcional ao quadrado da distância […] (x)” → x² vai para o denominador.
2. Montar a Fórmula:
- Começamos com a constante de proporcionalidade k:
S = k - Adicionamos os termos diretamente proporcionais, multiplicando no numerador:
S = k . b . d² - Adicionamos o termo inversamente proporcional, dividindo no denominador:
S = (k . b . d²) / x²
Verificação Intermediária 🧐
A expressão final é S = k.b.d²/x². Vamos comparar essa fórmula com as alternativas fornecidas.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha seria confundir os termos que são elevados ao quadrado. O enunciado é claro: “quadrado de sua altura (d)” e “quadrado da distância (x)”. Um aluno desatento poderia esquecer de elevar ao quadrado ou elevar a variável errada (como b).
Fechamento e expectativa ✨
Procuramos a alternativa que corresponda exatamente à fórmula que montamos.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🟢 A) S = k.b.d²/x²
Correta. Corresponde perfeitamente à nossa dedução: b e d² no numerador (diretamente proporcionais) e x² no denominador (inversamente proporcional).
🔴 B) S = k.b.d/x²
Incorreta. Erra ao não elevar d ao quadrado.
🔴 C) S = k.b.d²/x
Incorreta. Erra ao não elevar x ao quadrado.
🔴 D) S = k.b².d/x
Incorreta. Eleva b ao quadrado em vez de d, e não eleva x ao quadrado.
🟡 E) S = k.b.2d/2x
A que mais confunde (se simplificada). Esta expressão simplifica para S = k.b.d/x. Ela erra ao não elevar d e x ao quadrado.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 🗒️
A questão pedia para traduzir uma descrição de proporcionalidade em uma expressão matemática. Seguindo as regras de que termos diretamente proporcionais ficam no numerador e termos inversamente proporcionais ficam no denominador, montamos a fórmula. A resistência S é diretamente proporcional a b e d², e inversamente proporcional a x², resultando na expressão S = (k . b . d²) / x².
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a A.
Resumo Final para Revisão 🔑
Lembre-se da regra de ouro da proporcionalidade para montar fórmulas:
- “Diretamente proporcional a Z” → Coloque Z no numerador (em cima).
- “Inversamente proporcional a W” → Coloque W no denominador (embaixo).
