O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:
A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem – PFC)
- Interpretação de Problemas
- Aritmética Básica (Multiplicação e Subtração)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Aplicação do Princípio Fundamental da Contagem para determinar o número total de possibilidades em um evento composto e comparar com o número de participantes.
📊 Nível da Questão: Fácil.
- Por quê? A questão é um exemplo clássico de aplicação do Princípio Fundamental da Contagem (PFC). As etapas da decisão são independentes, bastando multiplicar o número de opções em cada etapa para encontrar o total de possibilidades.
✅ Gabarito: Alternativa A.
- Resumo: O número total de respostas possíveis é o produto das opções de objetos, personagens e cômodos (5 x 6 x 9 = 270). Como há 280 alunos e cada um dá uma resposta distinta, há 10 alunos a mais do que o número de respostas possíveis, garantindo que alguém acertará.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há…”
O que está sendo pedido? ❓
A questão nos pede para justificar por que é garantido que um dos 280 alunos acertará a resposta. A justificativa será a comparação entre o número de alunos e o número total de respostas possíveis.
Objetivo Cristalino 🎯
Nosso objetivo é:
- Calcular o número total de respostas únicas possíveis na brincadeira.
- Comparar esse número com o total de alunos (280).
- Descrever a diferença entre o número de alunos e o número de respostas.
🧠 Pense na brincadeira como a formação de uma “senha” de três partes: (Objeto, Personagem, Cômodo). Quantas opções temos para cada parte? O Princípio da Contagem nos diz o que fazer com esses números para achar o total de senhas.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definição de Termos 🔖
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC) ou Princípio Multiplicativo: É o pilar da Análise Combinatória. Ele afirma que, se um evento é composto por uma sequência de n decisões independentes, e a primeira decisão pode ser tomada de k₁ maneiras, a segunda de k₂ maneiras, e assim por diante até a n-ésima decisão que pode ser tomada de kₙ maneiras, então o número total de maneiras de o evento ocorrer é o produto:
- Total de Possibilidades = k₁ × k₂ × … × kₙ
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine um jogo de detetive com três perguntas a serem respondidas:
- O quê? (Qual objeto foi escondido?)
- Quem? (Qual personagem escondeu?)
- Onde? (Em qual cômodo?)
Temos um número fixo de suspeitos, armas e locais. Queremos saber quantas combinações únicas de resposta existem. Depois, vamos comparar esse número com a quantidade de detetives (alunos) que temos para solucionar o caso.
Estratégia Geral 🗺️
- Identificar as etapas da escolha que formam uma resposta completa.
- Contar o número de opções para cada etapa.
- Multiplicar o número de opções para encontrar o total de respostas possíveis.
- Subtrair o número de respostas do número de alunos.
⚙️ Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Identificar as Etapas da Decisão:
Para dar uma resposta completa, um aluno precisa escolher:
- Um objeto.
- Um personagem.
- Um cômodo.
2. Contar as Opções em Cada Etapa:
- Número de opções de objetos: 5
- Número de opções de personagens: 6
- Número de opções de cômodos: 9
3. Aplicar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC):
O número total de respostas distintas (N) é o produto das opções:
- N = (Opções de Objeto) × (Opções de Personagem) × (Opções de Cômodo)
- N = 5 × 6 × 9
- N = 30 × 9
- N = 270 respostas possíveis
4. Comparar com o Número de Alunos:
- Número de alunos: 280
- Número de respostas possíveis: 270
- A condição do problema é que “as respostas devem ser sempre distintas das anteriores”. Isso significa que os 270 primeiros alunos sorteados esgotarão todas as respostas possíveis. Como há 280 alunos, é matematicamente garantido que a resposta correta será dada por um deles.
5. Calcular a Diferença:
- Diferença = (Número de Alunos) – (Número de Respostas)
- Diferença = 280 – 270 = 10
Conclusão: Há 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Possível armadilha 🚨
A única armadilha possível seria somar as opções (5 + 6 + 9 = 20) em vez de multiplicá-las. Isso levaria a um raciocínio completamente errado. A natureza da escolha é “um E outro E outro”, o que na Análise Combinatória implica em multiplicação.
Fechamento e expectativa ✨
Nosso cálculo mostrou que existem 270 respostas e 280 alunos, uma diferença de 10. Vamos procurar a alternativa que expresse essa conclusão.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🟢 A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo (280 alunos – 270 respostas = 10).
🔴 B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Incorreta.
🔴 C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Incorreta.
🔴 D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Incorreta.
🔴 E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Incorreta. 270 é o número de respostas, não a diferença.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 🗒️
O problema é resolvido pelo Princípio Fundamental da Contagem. Para formar uma resposta completa e única, é preciso escolher um dos 5 objetos, um dos 6 personagens e um dos 9 cômodos. O número total de combinações possíveis é o produto dessas escolhas: 5 × 6 × 9 = 270. Como há 280 alunos participando e cada um deve dar uma resposta diferente, o número de alunos excede o número de respostas possíveis em 280 – 270 = 10. Isso garante que a resposta correta será, eventualmente, dada.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a A.
Resumo Final para Revisão 🔑
Lembre-se da regra de ouro da contagem: se você tem que fazer uma escolha E outra escolha E outra escolha, você deve multiplicar o número de opções de cada etapa para encontrar o total de possibilidades.
