José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente.
Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?
A) 600, 550, 350
B) 300, 300, 150
C) 300, 250, 200
D) 200, 200, 100
E) 100, 100, 50
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática Básica (Razão e Proporção)
- Operações com Frações
- Álgebra (Equação de 1º grau)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Resolução de um problema de divisão proporcional em duas etapas para encontrar a quantidade total de um item e sua distribuição final.
📊 Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão é um quebra-cabeça que exige vários passos de raciocínio lógico e matemático. É preciso calcular as frações para cada pessoa em cada etapa, comparar essas frações para descobrir quem levou mais laranjas, usar a informação da “diferença” para montar uma equação e encontrar o total, para só então calcular a distribuição final.
✅ Gabarito: Alternativa B.
- Resumo: O problema é resolvido ao se determinar a fração do total de laranjas que cada pessoa carregou em cada parte do trajeto. Identifica-se que Carlos foi o único que aumentou sua carga, e essa diferença (1/15 do total) corresponde a 50 laranjas. A partir daí, calcula-se o total de laranjas (750) e a distribuição na segunda parte.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?”
O que está sendo pedido? ❓
A questão nos pede os números exatos de laranjas que cada um (José, Carlos, Paulo) carregou na segunda parte da viagem.
Objetivo Cristalino 🎯
Nosso objetivo final é encontrar três números. Para chegar lá, precisamos primeiro descobrir o número total de laranjas. A pista para isso é a informação de que “um deles levou 50 laranjas a mais”.
🧠 A proporção mudou da primeira para a segunda parte. Isso significa que a fração do total que cada um carregou mudou. Quem se “beneficiou” com essa mudança? Descobrir quem foi essa pessoa é o primeiro passo para resolver o quebra-cabeça.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definição de Termos 🔖
- Divisão Proporcional: Dividir uma quantidade total (T) em partes proporcionais a certos números (a, b, c) significa que as partes serão frações do total.
- Soma das proporções: S = a + b + c
- Parte de A = (a/S) . T
- Parte de B = (b/S) . T
- Parte de C = (c/S) . T
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Três amigos estão carregando uma pilha de laranjas. No começo, dividem o peso de um jeito (6:5:4). Depois, no meio do caminho, eles param e redividem o peso de outro jeito (4:4:2). Nessa redivisão, um deles acabou pegando 50 laranjas a mais do que estava carregando antes. A pergunta é: sabendo disso, quantas laranjas cada um carregou nessa segunda etapa?
Estratégia Geral 🗺️
- Calcular a fração do total de laranjas que cada um carregou na 1ª parte.
- Calcular a fração do total de laranjas que cada um carregou na 2ª parte.
- Comparar as frações para ver quem aumentou a carga.
- Calcular a diferença entre a fração da 2ª parte e a da 1ª parte para essa pessoa.
- Igualar essa fração de diferença a 50 laranjas para descobrir o total de laranjas (T).
- Usar o valor de T para calcular a quantidade de laranjas de cada um na 2ª parte.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Análise da 1ª Parte:
- Proporção: 6 : 5 : 4 (José : Carlos : Paulo)
- Soma das partes: 6 + 5 + 4 = 15
- Frações da 1ª parte:
- José: 6/15 do total
- Carlos: 5/15 do total
- Paulo: 4/15 do total
2. Análise da 2ª Parte:
- Proporção: 4 : 4 : 2 (José : Carlos : Paulo)
- Soma das partes: 4 + 4 + 2 = 10
- Frações da 2ª parte:
- José: 4/10 do total
- Carlos: 4/10 do total
- Paulo: 2/10 do total
3. Comparar as Frações (vamos simplificar e usar um denominador comum, 30):
- José: 1ª parte = 6/15 = 12/30. 2ª parte = 4/10 = 12/30. (Não mudou)
- Carlos: 1ª parte = 5/15 = 10/30. 2ª parte = 4/10 = 12/30. (Aumentou!)
- Paulo: 1ª parte = 4/15 = 8/30. 2ª parte = 2/10 = 6/30. (Diminuiu)
4. Calcular a Diferença para Carlos:
- Diferença = (Fração da 2ª parte) – (Fração da 1ª parte)
- Diferença = 12/30 – 10/30 = 2/30
- Simplificando, a diferença é 1/15 do total de laranjas.
5. Descobrir o Total de Laranjas (T):
Sabemos que essa diferença de 1/15 do total equivale a 50 laranjas.
- (1/15) . T = 50
- T = 50 . 15
- T = 750 laranjas.
- O total de laranjas é 750.
6. Calcular a Distribuição na 2ª Parte:
Agora, aplicamos as frações da 2ª parte ao total de 750 laranjas.
- José: (4/10) . 750 = 4 . 75 = 300 laranjas
- Carlos: (4/10) . 750 = 4 . 75 = 300 laranjas
- Paulo: (2/10) . 750 = 2 . 75 = 150 laranjas
Verificação Intermediária 🧐
Vamos verificar se a diferença de Carlos bate com as 50 laranjas.
- Carlos na 1ª parte: (5/15) . 750 = (1/3) . 750 = 250 laranjas.
- Carlos na 2ª parte: 300 laranjas.
- Diferença: 300 – 250 = 50 laranjas. Bateu perfeitamente.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha é se perder nos cálculos com frações ou na interpretação. Um erro comum seria tentar resolver sem encontrar o total de laranjas, ou errar na identificação de quem aumentou a carga.
Fechamento e expectativa ✨
A distribuição na segunda parte foi de 300, 300 e 150 laranjas, respectivamente. Vamos procurar essa combinação nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 600, 550, 350
Incorreta.
🟢 B) 300, 300, 150
Correta. Corresponde exatamente aos valores que calculamos para a segunda parte do trajeto.
🔴 C) 300, 250, 200
Incorreta. Este mistura valores da primeira parte (Carlos com 250) com da segunda.
🔴 D) 200, 200, 100
Incorreta. As proporções (2:2:1) estão corretas, mas o total (500) está errado.
🟡 E) 100, 100, 50
A que mais confunde. As proporções estão corretas (4:4:2 simplifica para 2:2:1), mas o total de laranjas (250) é muito baixo. Seria o resultado se o aluno errasse o cálculo do total.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 🗒️
A solução foi encontrada ao se converter as proporções de cada etapa em frações do total de laranjas. Comparando as frações, identificou-se que apenas Carlos aumentou sua carga, em uma fração de 1/15 do total. Igualando essa fração ao valor dado (50 laranjas), descobriu-se que o total era de 750 laranjas. Finalmente, calculou-se a distribuição na segunda parte (4/10, 4/10 e 2/10 de 750), resultando em 300, 300 e 150 laranjas.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão 🔑
Em problemas de proporção com uma “pista” sobre a diferença entre as partes, o segredo é trabalhar com frações do total. A pista (50 laranjas) é a ponte que permite transformar as frações relativas em valores absolutos.
