O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida.
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.
O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de:
A) 300%.
B) 200%.
C) 150%.
D) 100%.
E) 50%.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Losango, Circunferência, Perímetro)
- Porcentagem (Cálculo de Aumento Percentual)
- Álgebra Básica
🎯 Tema/Objetivo Geral: Análise do impacto da alteração das dimensões de uma figura geométrica (circunferências) no perímetro de outra figura formada a partir delas (losango).
📊 Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão exige a habilidade de traduzir uma descrição visual em expressões algébricas para os lados do losango em cada situação. O cálculo do aumento percentual também requer atenção para não confundir o valor final com o aumento em si.
✅ Gabarito: Alternativa E.
- Resumo: O lado do losango, que inicialmente media 2r, passa a medir 3r. Consequentemente, o perímetro passa de 8r para 12r. Este aumento representa um crescimento de 50% em relação ao perímetro original.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de…”
O que está sendo pedido? ❓
A questão pede para calcular o aumento percentual do perímetro do losango ao passar da configuração da Figura 1 para a da Figura 2.
Objetivo Cristalino 🎯
Nosso objetivo é seguir um plano de quatro etapas:
- Calcular o perímetro do losango da Figura 1 em função do raio r.
- Calcular o perímetro do losango da Figura 2 em função do raio r.
- Calcular a variação absoluta entre os perímetros.
- Converter essa variação em um aumento percentual em relação ao perímetro original.
🧠 Observe o lado do losango em cada figura. Ele é formado pela união dos centros das circunferências. O que compõe a distância entre os centros de duas circunferências que se tocam (tangentes)? É a soma dos seus raios! Essa é a chave para o problema.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definição de Termos 🔖
- Losango: Um quadrilátero com todos os quatro lados de mesma medida.
- Perímetro de um Losango: A soma dos comprimentos de seus quatro lados. Se o lado mede L, o perímetro é P = 4L.
- Circunferências Tangentes: São circunferências que se tocam em um único ponto. A distância entre os centros de duas circunferências tangentes externamente é igual à soma de seus raios.
- Aumento Percentual: É calculado pela fórmula:
Aumento % = [ (Valor Final – Valor Inicial) / Valor Inicial ] × 100%
Ou, de forma mais simples, calculamos a razão Valor Final / Valor Inicial. Se o resultado for 1,5, por exemplo, significa que o valor final é 150% do inicial, o que corresponde a um aumento de 50%.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos um losango formado por quatro moedas iguais (Figura 1). Depois, trocamos duas moedas opostas por “moedões” com o dobro do raio (Figura 2). O losango esticou. A pergunta é: quantos por cento o contorno (perímetro) desse novo losango esticado aumentou em relação ao original?
Estratégia Geral 🗺️
- Definir uma variável r para o raio das circunferências pequenas.
- Expressar o lado do losango 1 (L₁) em termos de r e calcular seu perímetro (P₁).
- Expressar o lado do losango 2 (L₂) em termos de r e calcular seu perímetro (P₂).
- Calcular a razão P₂ / P₁ para encontrar o fator de aumento e, a partir dele, o percentual.
⚙️ Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Análise da Figura 1:
- Todas as quatro circunferências têm o mesmo raio, que vamos chamar de r.
- O lado do losango (L₁) é a distância entre os centros de duas circunferências tangentes.
- L₁ = raio da primeira + raio da segunda = r + r = 2r.
- O perímetro do losango 1 (P₁) é:
- P₁ = 4 × L₁ = 4 × (2r) = 8r.
2. Análise da Figura 2:
- Temos duas circunferências pequenas (raio r) e duas grandes.
- O raio das circunferências grandes foi dobrado, então seu raio é 2r.
- O lado do novo losango (L₂) é a distância entre o centro de uma circunferência pequena e uma grande, que são tangentes.
- L₂ = raio da pequena + raio da grande = r + 2r = 3r.
- O perímetro do losango 2 (P₂) é:
- P₂ = 4 × L₂ = 4 × (3r) = 12r.
3. Comparar os Perímetros e Calcular o Aumento Percentual:
- Perímetro Inicial (P₁): 8r
- Perímetro Final (P₂): 12r
Vamos usar a fórmula do aumento percentual:
- Aumento % = [ (12r – 8r) / 8r ] × 100%
- Aumento % = [ 4r / 8r ] × 100%
- Aumento % = [ 1/2 ] × 100%
- Aumento % = 0,5 × 100% = 50%
Método Alternativo (usando a razão):
- Razão = P₂ / P₁ = 12r / 8r = 1,5.
- Um fator de 1,5 significa que o novo valor é 150% do original. Para encontrar o aumento, subtraímos os 100% iniciais: 150% – 100% = 50% de aumento.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha é a alternativa C) 150%. Este é o valor do perímetro final em relação ao inicial (P₂ = 150% de P₁), mas a questão pede o aumento, que é a diferença (150% – 100% = 50%). É um erro clássico de interpretação em problemas de porcentagem.
Fechamento e expectativa ✨
Nosso cálculo nos levou a um aumento de 50%. Vamos verificar as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 300%
Incorreta. Aumento muito elevado.
🔴 B) 200%
Incorreta. Aumento muito elevado também.
🟡 C) 150%
A que mais confunde. Este é o valor do perímetro final em relação ao inicial, não o percentual de aumento.
🔴 D) 100%
Incorreta. Um aumento de 100% significaria que o perímetro dobrou (passou de 8r para 16r), o que não aconteceu.
🟢 E) 50%
Correta. Corresponde exatamente ao aumento percentual que calculamos ((12r – 8r) / 8r = 0,5).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 🗒️
Determinamos o lado de cada losango somando os raios das circunferências tangentes adjacentes. Na Figura 1, o lado é r + r = 2r, resultando em um perímetro P₁ = 8r. Na Figura 2, o lado é r + 2r = 3r, resultando em um perímetro P₂ = 12r. O aumento foi de 12r – 8r = 4r. Para encontrar o aumento percentual, dividimos o aumento pelo valor inicial: (4r / 8r) = 0,5, que corresponde a 50%.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a E.
Resumo Final para Revisão 🔑
Em problemas de aumento percentual, muito cuidado com a pergunta. Se o valor passa de 100 para 150:
- O valor final é 150% do inicial.
- O aumento foi de 50%.
Atenção a essa diferença é crucial para não cair em armadilhas.
