Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua.
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana
- Relações entre Quadrado e Círculo (Inscrição de Polígonos)
- Teorema de Pitágoras
🎯 Tema/Objetivo Geral: Inscrição de Polígonos e Relações Geométricas
🎯 Nível da Questão: Médio – A questão é considerada de nível médio pois exige mais do que a aplicação de uma fórmula direta. É preciso interpretar a condição de segurança, traduzi-la para uma relação geométrica (diagonal do quadrado ≤ diâmetro do círculo), conhecer a fórmula da diagonal do quadrado (ou saber deduzi-la com Pitágoras) e manipular corretamente a inequação resultante.
✅ Gabarito: A) R ≥ L/√2. A alternativa está correta pois, para que o quadrado caiba no círculo, sua diagonal (L√2) deve ser menor ou igual ao diâmetro do círculo (2R). A manipulação algébrica dessa inequação leva à relação apresentada.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?”
O que está sendo pedido?📌
A questão pede para encontrarmos a fórmula matemática (uma inequação) que garanta que o raio R da plataforma circular seja grande o suficiente para que a base quadrada de lado L caiba inteiramente sobre ela.
Objetivo Cristalino 📌
Vamos estabelecer a inequação que define o raio mínimo (R) da plataforma circular em função do lado (L) da base quadrada, para que a base fique totalmente apoiada, sem que os cantos fiquem para fora.
Pergunta de Atenção ✔
Você já tentou colocar uma caixa quadrada em um balde redondo? Qual é a parte da caixa que sempre bate na borda do balde se ela for muito grande? São os cantos, certo? A distância de um canto ao outro é a chave para resolver este problema!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definições e Fórmulas📌
Para resolver este desafio geométrico, precisamos dominar alguns conceitos:
- Quadrado Inscrito em um Círculo:
- Explicação: A condição de que a “base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma” significa que o quadrado deve estar “inscrito” no círculo. Isso quer dizer que todos os vértices (os cantos) do quadrado devem tocar a borda do círculo ou estar dentro dele. A situação limite, que define a medida mínima, é quando os quatro cantos do quadrado tocam exatamente a circunferência do círculo.
- Diagonal de um Quadrado:
- Explicação: É a linha reta que liga dois vértices opostos (cantos opostos). Esta é a maior distância possível entre dois pontos dentro de um quadrado.
- Fórmula: d = L√2.
- De onde vem? Pelo Teorema de Pitágoras. A diagonal (d) é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são os lados (L) do quadrado. Então:
d² = L² + L²
d² = 2L²
d = √(2L²)
d = L√2
- Diâmetro e Raio de um Círculo:
- Diâmetro (D): A maior distância entre dois pontos de um círculo, passando pelo centro.
- Raio (R): A distância do centro a qualquer ponto da borda.
- Relação: D = 2R.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 📌
Temos que colocar uma base de estátua quadrada em cima de uma plataforma redonda. A regra de segurança diz que a base não pode ter nenhuma parte para fora. A parte da base que se estica mais para longe do centro são os cantos. Portanto, para a base caber, a distância entre seus cantos mais distantes (a diagonal do quadrado) tem que ser, no máximo, igual à maior distância da plataforma (o diâmetro do círculo).
Estratégia Geral 📌
Nosso plano é simples:
- Escrever a expressão matemática para a diagonal do quadrado em função de L.
- Escrever a expressão matemática para o diâmetro do círculo em função de R.
- Estabelecer a inequação de segurança: Diagonal do Quadrado ≤ Diâmetro do Círculo.
- Substituir as expressões e isolar o raio R.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos executar nossa estratégia:
- Diagonal do quadrado (d_quadrado):
d_quadrado = L√2 - Diâmetro do círculo (D_circulo):
D_circulo = 2R - Condição de segurança: A base quadrada deve estar integralmente apoiada. Isso significa que sua maior medida (a diagonal) deve ser menor ou igual à maior medida da plataforma (o diâmetro).
d_quadrado ≤ D_circulo - Substituindo as fórmulas na inequação:
L√2 ≤ 2R - Isolando R para encontrar a relação pedida:
Para deixar o R sozinho, dividimos os dois lados da inequação por 2.
(L√2) / 2 ≤ R
Ou, reescrevendo de forma mais usual:
R ≥ (L√2) / 2
Verificação Intermediária 📌
Chegamos à relação R ≥ (L√2) / 2. Agora, vamos verificar se essa forma corresponde a alguma das alternativas. A alternativa A é R ≥ L/√2. Será que são a mesma coisa? Vamos verificar.
- Racionalização: Se pegarmos a expressão da alternativa A, L/√2, e racionalizarmos o denominador (multiplicar em cima e embaixo por √2 para tirar a raiz de baixo), temos:
(L / √2) * (√2 / √2) = (L * √2) / (√2 * √2) = (L√2) / 2 - Sim! As duas expressões são algebricamente idênticas.
Possível armadilha ❓/ ✔
A armadilha mais comum aqui é pensar que o lado do quadrado (L) deve ser menor ou igual ao diâmetro (2R). Isso levaria à inequação L ≤ 2R, e, consequentemente, a R ≥ L/2 (Alternativa D). Isso está errado! Essa condição garantiria que o quadrado coubesse na largura, mas seus cantos ficariam para fora da plataforma circular. Lembre-se, a medida crítica é sempre a maior distância dentro da forma que está sendo inscrita, que no caso do quadrado é a diagonal.
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo resultou em R ≥ (L√2)/2, que é equivalente a R ≥ L/√2. Esperamos encontrar essa expressão exata nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) R ≥ L/√2
B) R ≥ 2L/π
C) R ≥ L/√π
D) R ≥ L/2
E) R ≥ L/(2√2)
Justificativa Individual
- 🟢 A) R ≥ L/√2: Correta. Conforme demonstramos, esta é a forma simplificada da inequação R ≥ (L√2)/2, que garante que a diagonal do quadrado caiba dentro do diâmetro do círculo.
- 🔴 B) R ≥ 2L/π: Incorreta. A presença do π sugere uma relação com área ou perímetro, que não se aplica à condição de inscrição de um quadrado.
- 🔴 C) R ≥ L/√π: Incorreta. Outra relação envolvendo π que não tem fundamento na geometria do problema.
- 🔴 D) R ≥ L/2: Incorreta. Esta é a armadilha clássica, resultante da comparação incorreta entre o lado do quadrado e o diâmetro do círculo.
- 🔴 E) R ≥ L/(2√2): Incorreta. Esta expressão é equivalente a R ≥ (L√2)/4. Isso significaria que o diâmetro (2R) teria que ser maior que (L√2)/2, o que não corresponde à condição geométrica do problema.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📌
Para garantir que a base quadrada de lado L ficasse totalmente sobre a plataforma circular de raio R, estabelecemos que a diagonal do quadrado (L√2) deveria ser menor ou igual ao diâmetro do círculo (2R). A resolução da inequação L√2 ≤ 2R para o raio R nos levou à condição de segurança R ≥ L/√2.
Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é a A) R ≥ L/√2.
Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar: Ao inscrever um quadrado em um círculo, a relação fundamental é Diagonal do Quadrado = Diâmetro do Círculo. Lembre-se sempre de usar a maior dimensão da figura interna para garantir que ela caiba completamente.
