Questão 179, caderno azul do ENEM 2014

Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada.

A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era

A) R$ 166,00.

B) R$ 156,00.

C) R$ 84,00.

D) R$ 46,00.

E) R$ 24,00.

Resolução em texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Álgebra (Montagem e resolução de equações de 1º grau)
Sistemas de Equações Lineares
Cálculo de Porcentagem
Interpretação de Enunciado

🎯 Tema/Objetivo Geral: Modelagem matemática de uma situação-problema e resolução de um sistema de equações.

🎯 Nível da Questão: Médio.

Detalhe: A questão é de nível médio porque o principal desafio é traduzir as informações do texto em equações matemáticas corretas. A montagem do sistema exige atenção a todos os detalhes do enunciado (o dinheiro a mais, o aumento do preço, a redução na quantidade). Uma vez que o sistema está montado corretamente, a resolução é relativamente simples.

✅ Gabarito: B

A alternativa está correta porque, ao resolver o sistema de equações que modela a situação, encontramos que a pessoa comprava 15 unidades, e a quantia que ela levava era de (10 × 15) + 6 = R$ 156,00.

📖 Resolução Passo a Passo

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial 📌
“A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era”

1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para encontrarmos o valor total, em reais, que a pessoa levava para a loja.

1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nossa missão é usar as informações do problema para criar equações que relacionem a quantidade de produto (q) e o dinheiro total levado (D). Ao resolver essas equações, encontraremos o valor de D.

1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você percebeu que temos duas situações diferentes no problema (a situação “normal” e a situação “do dia do aumento”)? Cada situação vai nos dar uma equação! Essa é a chave para resolver o problema.

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, vamos usar a linguagem da álgebra para modelar a situação.

Definição de Variáveis: O primeiro passo na modelagem é definir nossas incógnitas.
- q: a quantidade de unidades que a pessoa habitualmente compra.
- D: a quantia de dinheiro, em reais, que a pessoa sempre leva.
Montagem de Equações: Traduziremos cada frase do problema em uma equação matemática:
- “Sempre a mesma quantidade (q) de um produto que custa R$ 10,00” → Custo normal = 10q.
- “leva sempre R$ 6,00 a mais” → D = 10q + 6.
- “preço […] havia aumentado 20%” → Novo preço = 10 × 1,20 = R$ 12,00.
- “dinheiro levado (D) era a quantia exata para comprar duas unidades a menos (q-2)” → D = 12 × (q – 2).

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada 📌
Pense na seguinte história:

Cenário Normal: Toda semana, eu vou à loja para comprar uma certa quantidade de chocolates de R 10.EusemprelevoodinheiroexatoparaoschocolatesemaisR 10. Eu sempre levo o dinheiro exato para os chocolates e mais R10.EusemprelevoodinheiroexatoparaoschocolatesemaisR 6,00 para um cafezinho.
Cenário do Reajuste: Um dia, chego lá e o chocolate subiu para R$ 12. Com o dinheiro que eu trouxe (o mesmo de sempre), eu percebo que consigo comprar exatamente a mesma quantidade de chocolates de antes, menos dois, e não sobra nada para o cafezinho.
A pergunta é: quanto dinheiro eu levo para a loja toda semana?

3.2 Estratégia Geral 📌
Nossa estratégia será:

Montar a equação que descreve o dinheiro levado (D) no cenário normal.
Montar a equação que descreve o dinheiro levado (D) no cenário do reajuste.
Como o dinheiro levado é o mesmo nos dois cenários, vamos igualar as duas equações.
Resolver a equação resultante para encontrar a quantidade q.
Substituir o valor de q em uma das equações originais para encontrar o dinheiro D.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos executar a estratégia.

Passo A: Montar a Equação 1 (Cenário Normal)
- Custo dos produtos: 10 × q
- Dinheiro extra: + 6
- Equação 1: D = 10q + 6
Passo B: Montar a Equação 2 (Cenário do Reajuste)
- Novo preço do produto: 10 + (20% de 10) = 10 + 2 = R$ 12,00.
- Nova quantidade comprada: q – 2
- Nesse dia, o dinheiro D foi a quantia exata.
- Equação 2: D = 12(q – 2)
Passo C: Igualar as duas equações e resolver para q
- Como D = D, podemos igualar as duas expressões:
- 10q + 6 = 12(q – 2)
- 10q + 6 = 12q – 24
- Vamos organizar a equação (letras para um lado, números para o outro):
- 6 + 24 = 12q – 10q
- 30 = 2q
- q = 30 / 2
- q = 15
- Isso significa que a pessoa comprava habitualmente 15 unidades do produto.
Passo D: Encontrar a quantia de dinheiro D
- Agora que sabemos o valor de q, podemos substituí-lo em qualquer uma das duas equações originais. A Equação 1 é mais fácil.
- D = 10q + 6
- D = 10(15) + 6
- D = 150 + 6
- D = R$ 156,00

4.2 Verificação Intermediária 📌
Vamos verificar com a Equação 2:
D = 12(q – 2) = 12(15 – 2) = 12(13) = 156.
O resultado bate! Nosso cálculo está correto.

4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha seria esquecer um dos detalhes na montagem das equações. Por exemplo, esquecer os “R$ 6,00 a mais” na primeira equação, ou as “duas unidades a menos” na segunda. Outro erro comum seria calcular o aumento de 20% de forma incorreta.

4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a uma quantia de R$ 156,00. Agora vamos confirmar essa resposta nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) R$ 166,00.B) R$ 156,00.
C) R$ 84,00.
D) R$ 46,00.
E) R$ 24,00.

5.2 Justificativa Individual

A) R$ 166,00 (🔴) Incorreta. Provavelmente resultado de um erro de cálculo ao resolver o sistema.
B) R$ 156,00 (🟢) Correta. Corresponde exatamente ao valor que encontramos para a quantia semanal que a pessoa levava.
C) R$ 84,00 (🔴) Incorreta.
D) R$ 46,00 (🔴) Incorreta. Este valor seria o resultado se q=4 (10*4+6).
E) R$ 24,00 (🔴) Incorreta.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao modelar as duas situações (normal e com reajuste) em um sistema de duas equações com duas variáveis (D e q). Ao igualar as duas expressões para D, encontramos o valor de q e, em seguida, substituímos esse valor para encontrar a quantia de dinheiro D.

6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa B.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A dica de ouro para problemas descritos em texto é: traduza cada informação em uma expressão matemática. Defina suas variáveis (o que você não sabe) e monte as equações com base nas relações que o texto te dá. A partir daí, o problema se torna uma simples resolução algébrica.