Questão 169, caderno azul do ENEM 2014

A Figura 1 representa uma gravura retangular com 8 m de comprimento e 6 m de altura.

Questão 169 - ENEM 2014 - Questão 169,Gravura

Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel retangular com 42 cm de comprimento e 30 cm de altura, deixando livres 3 cm em cada margem, conforme a Figura 2.

A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1

PRADO, A. C. Superinteressante, ed. 301, fev. 2012 (adaptado).

A escala da gravura reproduzida na folha de papel é

A) 1 : 3.

B) 1 : 4.

C) 1 : 20.

D) 1 : 25.

E) 1 : 32.

Resolução em texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Escala (Conceito e Aplicação)
Razão e Proporção
Geometria Plana (Retângulos e suas dimensões)

🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo de escala em uma reprodução com restrição de espaço.

🎯 Nível da Questão: Médio.

Detalhe: A questão é de nível médio porque não se trata de um simples cálculo de escala. Ela exige várias etapas: calcular a área útil do papel, determinar as razões de escala para a altura e para a largura separadamente, e o mais importante, entender que é preciso escolher a escala que garante que a imagem inteira caiba no espaço, o que significa usar a maior redução (menor escala).

✅ Gabarito: D

A alternativa está correta porque, ao calcular as escalas máximas permitidas pela largura (1:22,2) e pela altura (1:25), devemos escolher a escala de maior redução (1:25) para garantir que a imagem inteira caiba na área útil do papel sem distorções.

📖 Resolução Passo a Passo

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial 📌
“A escala da gravura reproduzida na folha de papel é”

1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para encontrarmos a escala que será usada para imprimir a gravura grande em um espaço menor no papel, ocupando o máximo de área possível sem distorcer a imagem.

1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é:

Determinar o tamanho do espaço real de impressão no papel.
Calcular as possíveis escalas para a largura e para a altura.
Escolher a escala correta que respeite as proporções e o espaço disponível.

1.4 Pergunta de Atenção ✔
Se você tentar encaixar uma foto retangular em um espaço quadrado, o que acontece? Ou você corta a foto, ou deixa sobrar espaço, ou a distorce. Para manter a proporção, uma das dimensões (largura ou altura) vai limitar o tamanho máximo. Qual será o fator limitante aqui?

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, precisamos dominar o conceito de Escala.

Escala Numérica: É a razão (divisão) entre a medida no desenho (ou reprodução) e a medida correspondente no objeto real.
- Fórmula: Escala = Medida na Reprodução / Medida Real
- Importante: As duas medidas devem estar na mesma unidade! (ex: cm e cm, m e m).
Manter as Proporções: Significa que a razão largura/altura da gravura original deve ser a mesma da gravura impressa. Para garantir isso, a escala usada na largura deve ser a mesma usada na altura.
Fator Limitante: Ao tentar encaixar uma imagem em um espaço, a dimensão que exige a maior redução (ou seja, a menor escala) é a que “manda”. Temos que usar essa escala para tudo, para que a imagem inteira caiba. Uma escala menor significa um denominador maior (ex: 1:50 é menor que 1:20).

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada 📌
Imagine que você tem um pôster gigante de 8m por 6m e quer imprimi-lo em uma folha de papel. O papel tem um “espaço útil” de impressão, pois você precisa deixar margens de 3 cm em todos os lados. Você quer que a sua impressão fique o maior possível dentro desse espaço útil, mas sem cortar nem “esticar” a imagem. Qual será a escala de redução que você terá que usar na impressora?

3.2 Estratégia Geral 📌
O plano de ataque será:

Calcular as dimensões reais da área de impressão no papel, descontando as margens.
Calcular a escala máxima permitida pela largura da folha.
Calcular a escala máxima permitida pela altura da folha.
Escolher a escala limitante (a menor das duas) como a resposta final.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos executar a estratégia, um cálculo de cada vez.

Passo A: Calcular as dimensões da área útil de impressão
- Comprimento útil: O papel tem 42 cm, com margens de 3 cm de cada lado.
  Comprimento útil = 42 – 3 – 3 = 36 cm
- Altura útil: O papel tem 30 cm, com margens de 3 cm de cada lado.
  Altura útil = 30 – 3 – 3 = 24 cm
- Nosso espaço de impressão é um retângulo de 36 cm x 24 cm.
Passo B: Calcular a escala com base na LARGURA/COMPRIMENTO
- Dimensão real da gravura: 8 metros = 800 cm
- Dimensão na reprodução (máxima): 36 cm
- Escala_largura = Medida na Reprodução / Medida Real = 36 / 800
- Simplificando a fração por 36: 1 / (800/36) ≈ 1 / 22,2.
- Então, a escala pela largura seria de aproximadamente 1 : 22,2.
Passo C: Calcular a escala com base na ALTURA
- Dimensão real da gravura: 6 metros = 600 cm
- Dimensão na reprodução (máxima): 24 cm
- Escala_altura = Medida na Reprodução / Medida Real = 24 / 600
- Simplificando a fração por 24: 1 / (600/24) = 1 / 25.
- A escala pela altura é de 1 : 25.
Passo D: Escolher a escala limitante
- Temos duas escalas possíveis: 1 : 22,2 (pela largura) e 1 : 25 (pela altura).
- A escala 1 : 25 representa uma redução maior do que a 1 : 22,2.
- Se usarmos a escala 1 : 22,2 (limitada pela largura), a altura da gravura impressa seria 600 / 22,2 ≈ 27 cm. Isso não caberia no espaço de 24 cm de altura do papel.
- Portanto, somos obrigados a usar a escala 1 : 25, que é limitada pela altura. Com essa escala, a gravura impressa caberá perfeitamente na altura (24 cm) e sobrará um pequeno espaço na largura.
- A escala a ser utilizada é 1 : 25.

4.2 Verificação Intermediária 📌
Com a escala de 1:25:

A nova altura será 600 cm / 25 = 24 cm (cabe exatamente no espaço).
A nova largura será 800 cm / 25 = 32 cm (cabe no espaço de 36 cm, sobrando margem).
O cálculo está consistente.

4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é não entender qual escala escolher. Você calcula as duas (1:22,2 e 1:25) e pode ficar na dúvida. Lembre-se: a escala representa uma redução. Para que a imagem inteira caiba, você deve sempre escolher a maior redução, que é a escala com o maior denominador.

4.4 Fechamento e expectativa
Nosso raciocínio nos levou à escala de 1:25. Agora vamos confirmar essa resposta nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) 1 : 3.
B) 1 : 4.
C) 1 : 20.
D) 1 : 25.
E) 1 : 32.

5.2 Justificativa Individual

A), B), C) (🔴) Incorretas. São escalas de redução menores, que resultariam em uma imagem impressa maior que o espaço útil do papel.
D) 1 : 25 (🟢) Correta. Corresponde exatamente à escala limitante que calculamos, garantindo que a reprodução caiba no papel mantendo as proporções.
E) 1 : 32 (🔴) Incorreta. Esta escala representa uma redução ainda maior. A imagem caberia, mas não estaria ocupando o “máximo possível da região disponível”, como pede o enunciado.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao primeiro calcular as dimensões úteis do papel (36 cm x 24 cm). Em seguida, calculamos as escalas máximas permitidas pela largura (1:22,2) e pela altura (1:25). Para garantir que a imagem inteira coubesse sem distorção, escolhemos a escala de maior redução (menor escala), que é 1:25.

6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa D.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Ao ajustar uma imagem a um espaço, calcule a escala para cada dimensão (largura e altura) e sempre escolha a menor escala (aquela com o maior denominador). Ela é o seu fator limitante e garantirá que tudo caiba.