Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura:
Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.
Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?
A) π d
B) 2π d
C) 4π d
D) 5π d
E) 10π d
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Quadrado, Circunferência e seu Perímetro)
- Geometria Espacial (Cilindro)
- Visualização Espacial
🎯 Tema/Objetivo Geral: Relação entre o perímetro de uma circunferência e a dimensão de uma folha enrolada sobre ela.
🎯 Nível da Questão: Fácil.
- Detalhe: A questão é considerada fácil porque envolve a aplicação direta da fórmula do perímetro da circunferência. O raciocínio é linear: o comprimento do papel que é enrolado corresponde ao perímetro do cilindro multiplicado pelo número de voltas.
✅ Gabarito: D
- A alternativa está correta porque o lado da folha de papel, ao ser enrolado, deve cobrir 5 vezes o perímetro (ou comprimento) da circunferência da base do cilindro, que é πd.
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para encontrarmos a expressão que representa o comprimento do lado da folha de papel quadrada, em função do diâmetro d do cilindro usado como molde.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nossa missão é relacionar o comprimento do lado do papel com o perímetro do cilindro e o número de voltas dadas.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Quando você enrola uma folha de papel para formar um tubo, qual dimensão da folha se torna o “contorno” do tubo? Entender essa conexão é a chave para o problema.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, precisamos de dois conceitos-chave:
- 1. Folha de Papel Quadrada:
- Possui quatro lados iguais. Vamos chamar a medida do lado de L.
- 2. Perímetro (ou Comprimento) da Circunferência:
- É a medida do contorno de um círculo. Representa a “distância de uma volta completa”.
- Fórmula (usando o raio r): C = 2πr
- Fórmula (usando o diâmetro d): Como o diâmetro d = 2r, podemos substituir na fórmula: C = π(2r) = πd. Esta versão é mais direta para o nosso problema.
- Relação Fundamental do Problema:
- O comprimento do lado do papel (L) que é enrolado deve ser igual ao comprimento de uma volta (πd) multiplicado pelo número de voltas.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Imagine que você tem um rolo de macarrão (o cilindro) e uma folha de massa de pastel (o papel quadrado). Você vai enrolar a massa no rolo, dando exatamente 5 voltas completas. A pergunta é: qual era o comprimento da folha de massa antes de você começar a enrolar?
3.2 Estratégia Geral 📌
A estratégia é uma receita de dois passos:
- Escrever a fórmula para o comprimento de uma volta em torno do cilindro, usando o diâmetro d.
- Multiplicar esse valor pelo número de voltas (5) para encontrar o comprimento total do papel necessário, que é o lado L da folha.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar nossa estratégia.
- Passo A: Calcular o comprimento de UMA volta
- Uma volta completa em torno do cilindro corresponde ao perímetro de sua base circular.
- O diâmetro do cilindro é d.
- Usando a fórmula do perímetro em função do diâmetro:
- Comprimento de 1 volta = πd
- Passo B: Calcular o comprimento total para 5 voltas
- O problema diz que a folha dá 5 voltas completas.
- O lado L da folha de papel deve ter o comprimento exato para cobrir essas 5 voltas.
- L = (Número de voltas) × (Comprimento de 1 volta)
- L = 5 × (πd)
- L = 5πd
4.2 Verificação Intermediária 📌
A expressão encontrada é simples e faz sentido lógico: o comprimento total é o comprimento de uma volta vezes o número de repetições.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha seria usar a fórmula do perímetro com o raio (2πr) e não fazer a conversão correta para o diâmetro, ou confundir d com r. Por exemplo, se você pensasse que o perímetro é 2πd, chegaria à resposta 10πd (alternativa E), que está incorreta. Lembre-se sempre: C = 2πr = πd.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou à expressão 5πd para o lado da folha. Agora vamos confirmar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) π d
B) 2π d
C) 4π d
D) 5π d
E) 10π d
5.2 Justificativa Individual
- A) π d (🔴) Incorreta. Esta é a medida de apenas uma volta, mas o papel dá cinco.
- B) 2π d (🔴) Incorreta. Esta seria a medida de duas voltas.
- C) 4π d (🔴) Incorreta. Esta seria a medida de quatro voltas.
- D) 5π d (🟢) Correta. Corresponde exatamente à medida de cinco voltas completas em torno do cilindro.
- E) 10π d (🔴) Incorreta. Este seria o resultado se você usasse a fórmula incorreta do perímetro (2πd), resultando em 5 × 2πd = 10πd.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao reconhecer que o lado da folha de papel quadrada corresponde ao comprimento total do enrolamento. Esse comprimento é o perímetro da base do cilindro (πd) multiplicado pelo número de voltas (5).
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa D.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A dica de ouro para problemas de enrolamento: o comprimento reto do material que é enrolado é igual ao perímetro do objeto circular multiplicado pelo número de voltas. E lembre-se das duas versões da fórmula do perímetro: C = 2πr e C = πd.
