O quadrado ABCD, de centro O e lado 2 cm, corresponde à trajetória de uma partícula P que partiu de M, ponto médio de AB, seguindo pelos lados do quadrado e passando por B, C, D, A até retornar ao ponto M.
Seja F(x) a função que representa a distância da partícula P ao centro O do quadrado, a cada instante de sua trajetória, sendo x (em cm) o comprimento do percurso percorrido por tal partícula. Qual o gráfico que representa F(x)?
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Quadrado, Ponto Médio)
- Teorema de Pitágoras
- Geometria Analítica (Distância entre dois pontos)
- Funções e Interpretação de Gráficos
Tema/Objetivo Geral: Análise de uma função que descreve a distância de um ponto móvel a um ponto fixo e identificação de seu gráfico correspondente.
Nível da Questão: Difícil.
- Por quê? A questão exige a combinação de vários conceitos. Não basta apenas calcular as distâncias em pontos específicos; é preciso também inferir a forma da curva entre esses pontos (curva vs. reta), um detalhe sutil que diferencia as alternativas corretas das incorretas e que pode facilmente passar despercebido.
Gabarito: Alternativa A.
- Resumo: A distância da partícula ao centro oscila entre 1 cm (nos pontos médios dos lados) e √2 cm (nos vértices). A natureza geométrica do movimento resulta em segmentos de curva no gráfico, e não em linhas retas.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“Seja F(x) a função que representa a distância da partícula P ao centro O do quadrado, a cada instante de sua trajetória, sendo x […] o comprimento do percurso percorrido […] Qual o gráfico que representa F(x)?”
O que está sendo pedido?
A questão pede para encontrarmos o gráfico que descreve corretamente como a distância entre a partícula P e o centro O (y = F(x)) muda conforme a partícula se move ao longo do perímetro do quadrado (x).
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é mapear a trajetória da partícula, calculando sua distância ao centro O em pontos-chave (pontos médios dos lados e vértices) e entendendo o comportamento da função entre esses pontos para, então, escolher o gráfico correspondente.
🧠 Conforme a partícula se move de um ponto médio para um vértice, sua distância ao centro aumenta. Esse aumento acontece de forma constante (gerando uma linha reta no gráfico) ou de forma variável (gerando uma curva)? A resposta a essa pergunta é o segredo para diferenciar as alternativas!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definição de Termos
Coordenadas: Vamos colocar o quadrado em um plano cartesiano com o centro O na origem (0,0). Como o lado é 2, os vértices serão B(1,1), C(-1,1), D(-1,-1) e A(1,-1). O ponto de partida M será (1,0).
Teorema de Pitágoras: Essencial para calcular a distância do centro (0,0) aos vértices. A distância de O a qualquer vértice (ex: B) forma a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de comprimento 1.
Distância² = cateto₁² + cateto₂²
d(O,B)² = 1² + 1² = 2 => d(O,B) = √2
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que você é a partícula P caminhando pela borda do quadrado. O x do gráfico é o seu “hodômetro”, marcando quantos centímetros você já andou. O y do gráfico (F(x)) é a sua distância, em linha reta, até o centro O do quadrado. Queremos um gráfico que mostre como essa distância y sobe e desce enquanto o seu hodômetro x avança de 0 a 8 cm (o perímetro total).
Estratégia Geral
- Calcular a distância F(x) no ponto de partida (x=0, ponto M). Isso nos ajudará a eliminar alguns gráficos.
- Calcular F(x) no primeiro vértice (x=1, ponto B). Isso refinará nossa escolha.
- Analisar o padrão da distância ao longo de todo o percurso para confirmar.
- Determinar se o trajeto entre os pontos é uma linha reta ou uma curva.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
1. Ponto de Partida (x = 0):
- A partícula parte de M, ponto médio de AB. A distância do centro O até o ponto M é a metade do lado do quadrado.
- F(0) = 1 cm.
- Análise: Isso já elimina o gráfico D, que começa em y=2.
2. Primeiro Vértice (x = 1):
- A partícula se move de M para B. A distância percorrida é MB = 1 cm. Então, quando x=1, a partícula está no vértice B.
- A distância de P (agora em B) até o centro O é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 1 e 1.
- Usando Pitágoras: d² = 1² + 1² = 2 => d = √2 ≈ 1,41 cm.
- Portanto, F(1) = √2 ≈ 1,41.
- Análise: O gráfico deve começar em y=1 e subir até y≈1,41. Os gráficos A, C e E mostram esse comportamento. O gráfico B (distância constante) está errado.
3. Próximo Ponto Médio (x = 2):
- A partícula se move de B até o ponto médio do lado BC. A distância percorrida a partir de B é de 1 cm. A distância total percorrida é x = 1 (até B) + 1 = 2 cm.
- Nesse ponto médio, a distância ao centro O é novamente 1 cm.
- F(2) = 1.
- Análise: O gráfico deve voltar para y=1. Todos os gráficos restantes (A, C, E) mostram isso.
4. O Padrão e a Forma da Curva:
- O padrão se repete: a distância oscila entre um mínimo de 1 cm (nos pontos médios dos lados) e um máximo de √2 cm (nos vértices).
- Agora, o detalhe crucial: curva ou reta?
- Pense na partícula indo de M (1,0) para B (1,1). Sua posição P pode ser descrita como (1, t) onde t varia. A distância ao centro O(0,0) é d = √(1² + t²). Esta não é uma função linear (uma reta), mas uma função de raiz quadrada, que gera uma curva.
- Os gráficos C e D mostram segmentos de reta (“bicos”), o que está incorreto.
- O gráfico A mostra segmentos curvos, o que representa corretamente a variação da distância.
Verificação Intermediária 🧐
- x=0: F(0)=1
- x=1: F(1)=√2
- x=2: F(2)=1
- x=3: F(3)=√2
- …e assim por diante, até x=8, onde F(8)=1.
- O gráfico é uma onda curva que oscila entre 1 e √2.
Possível armadilha 🚨
A armadilha mortal é a alternativa C. Ela mostra a oscilação correta entre 1 e √2, mas com segmentos de reta. É muito fácil pensar que, como a partícula se move em linha reta, a distância ao centro também mudaria de forma linear. Isso está errado, pois a distância é calculada por Pitágoras, envolvendo quadrados e raízes, o que gera curvas.
Fechamento e expectativa
Procuramos um gráfico que comece em y=1, suba em uma curva até y≈1.41, desça em uma curva de volta a y=1, e repita esse ciclo 4 vezes.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🟢 A) Correta. Começa em y=1, atinge um máximo próximo de 1,4 (√2), e os segmentos são curvos. O padrão se repete corretamente ao longo do percurso de 8 cm.
🔴 B) Incorreta. Mostra uma distância constante em y=1, o que só aconteceria se a partícula se movesse em um círculo de raio 1.
🟡 C) A que mais confunde. Apresenta a oscilação correta de amplitude (entre 1 e √2), mas erra na forma da função, mostrando segmentos de reta (uma onda “dente de serra”) em vez de curvas.
🔴 D) Incorreta. Começa em y=2 e tem segmentos de reta. Erra tanto no valor inicial quanto na forma.
🔴 E) Incorreta. Embora seja curva e comece em y=1, a amplitude da oscilação está errada (o máximo não chega a √2 ≈ 1,41).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 🗒️
A solução foi encontrada ao calcular a distância da partícula ao centro em pontos-chave da trajetória (mínimo de 1 cm nos pontos médios e máximo de √2 cm nos vértices). A análise da função da distância mostrou que sua variação não é linear, resultando em um gráfico com segmentos de curva, o que permitiu eliminar as alternativas com segmentos de reta.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A, pois é a única que representa corretamente a amplitude e a forma curva da função F(x).
Resumo Final para Revisão
Lembre-se: a distância de um ponto que se move em uma linha reta a um ponto fixo fora dessa linha não varia linearmente. Essa relação é governada pelo Teorema de Pitágoras e quase sempre gera um gráfico curvo.
