Estudos revelam que, independentemente de etnia, idade e condição social, as pessoas têm padrões estéticos comuns de beleza facial e que as faces consideradas bonitas apresentam-se em proporção áurea. A proporção áurea é a constante Φ = 1,618…
Uma agência de modelos reconhece a informação citada e utiliza-a como critério de beleza facial de suas contratadas. Para entrevistar uma nova candidata a modelo, a referida agência pede uma fotografia de rosto no ato da inscrição e, com ela, determina as medidas mostradas na figura.
Analisando a fotografia de cinco candidatas, I, II, III, IV e V, para a seleção de uma única garota, foram constatadas estas medidas:
- Candidata I: M1 = 11 cm; M2 = 5,5 cm e M3 = 7 cm.
- Candidata II: M1 = 10,5 cm; M2 = 4,5 cm e M3 = 6,5 cm.
- Candidata III: M1 = 11,5 cm; M2 = 3,5 cm e M3 = 6,5 cm.
- Candidata IV: M1 = 10 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm.
- Candidata V: M1 = 10,5 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm.
CONTADOR, P. R. M. A matemática na arte e na vida.
São Paulo: Livraria da Física, 2007 (adaptado).
A candidata selecionada pela agência de modelos, segundo os critérios da proporção áurea, foi:
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Interpretação de Enunciado e Fórmulas
- Razão e Proporção
- Operações com Números Decimais (Divisão)
- Lógica e Comparação de Valores
Tema/Objetivo Geral: Aplicação de um critério matemático (proporção áurea) para selecionar a candidata que melhor se encaixa no padrão estabelecido.
Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão não é difícil em termos de conceito matemático, mas é trabalhosa. Exige a realização de dez cálculos de divisão e a subsequente comparação dos resultados com um valor de referência (Φ ≈ 1,618), o que demanda tempo e atenção para não cometer erros.
Gabarito: Alternativa E.
- Resumo: Após calcular as duas razões (M1/M3 e M3/M2) para cada candidata, a Candidata V é a que apresenta ambos os resultados mais próximos do valor da proporção áurea (Φ ≈ 1,618).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“A candidata selecionada pela agência de modelos, segundo os critérios da proporção áurea, foi…”
O que está sendo pedido?
A questão pede para identificarmos qual candidata tem as proporções faciais (as razões M1/M3 e M3/M2) mais próximas do número de ouro, Φ ≈ 1,618.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é, para cada uma das cinco candidatas, calcular os dois quocientes pedidos (M1/M3 e M3/M2) e verificar qual par de resultados se aproxima mais, em conjunto, do valor 1,618.
🧠 Você notou que o critério exige que ambas as razões sejam próximas de Φ? Não basta apenas uma das divisões dar um resultado perto do ideal. A candidata perfeita seria aquela em que M1/M3 ≈ 1,618 E M3/M2 ≈ 1,618.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definição de Termos
- Proporção Áurea (ou Número de Ouro): É uma constante matemática irracional, representada pela letra grega Φ (Phi), cujo valor é aproximadamente 1,618. É encontrada em diversas formas na natureza, na arte e na arquitetura, sendo frequentemente associada a um senso de harmonia e beleza.
- Critério de Seleção: Neste problema, o critério é puramente matemático. A candidata “mais bonita” não é uma questão de gosto, mas sim aquela cujas medidas faciais resultam em divisões que chegam mais perto de Φ.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que você é o recrutador da agência. Você tem uma “régua mágica” que mede a beleza (a proporção áurea, 1,618). Para cada candidata, você fará duas medições:
- Medição 1: (largura dos olhos) / (largura da boca)
- Medição 2: (largura da boca) / (largura do nariz)
A candidata que tiver os resultados dessas duas medições mais “grudados” no número 1,618 da sua régua será a escolhida.
Estratégia Geral
O plano é sistemático, mas repetitivo:
- Pegar os dados da Candidata I. Calcular M1/M3 e M3/M2. Comparar com 1,618.
- Repetir o processo para a Candidata II.
- Repetir para a Candidata III, IV e V.
- Analisar todos os resultados e decidir qual candidata foi a mais “áurea”.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
Vamos calcular as duas proporções para cada candidata (arredondando para 3 casas decimais para facilitar a comparação).
- Candidata I: M1=11, M2=5.5, M3=7
M1/M3 = 11 / 7 ≈ 1,571 (Longe de 1,618)
M3/M2 = 7 / 5.5 ≈ 1,272 (Muito longe)
Análise: Descartada.
- Candidata II: M1=10.5, M2=4.5, M3=6.5
M1/M3 = 10.5 / 6.5 ≈ 1,615 (Muito perto!)
M3/M2 = 6.5 / 4.5 ≈ 1,444 (Longe)
Análise: Uma proporção é boa, a outra não. Vamos ver as outras.
- Candidata III: M1=11.5, M2=3.5, M3=6.5
M1/M3 = 11.5 / 6.5 ≈ 1,769 (Muito longe)
M3/M2 = 6.5 / 3.5 ≈ 1,857 (Muito longe)
Análise: Descartada.
- Candidata IV: M1=10, M2=4, M3=6.5
M1/M3 = 10 / 6.5 ≈ 1,538 (Longe)
M3/M2 = 6.5 / 4 = 1,625 (Muito perto!)
Análise: Similar à Candidata II, uma proporção é boa, a outra não.
- Candidata V: M1=10.5, M2=4, M3=6.5
M1/M3 = 10.5 / 6.5 ≈ 1,615 (Muito perto!)
M3/M2 = 6.5 / 4 = 1,625 (Muito perto!)
Análise: Ambos os resultados estão muito próximos de 1,618. Esta é a candidata mais consistente.
Verificação Intermediária 🧐
Comparando todas, a Candidata V é a única que apresenta ambas as proporções muito próximas do valor de Φ. As candidatas II e IV têm apenas uma das proporções perto do ideal, enquanto a outra se desvia consideravelmente.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha seria parar a análise ao encontrar o primeiro valor “bom”. Por exemplo, ao calcular M1/M3 para a Candidata II e obter 1,615, um aluno apressado poderia marcar a alternativa B sem verificar a segunda proporção e as outras candidatas. O enunciado implica que o conjunto das medidas deve ser harmonioso.
Fechamento e expectativa
Nossos cálculos detalhados apontam de forma conclusiva para a Candidata V como a que melhor atende aos critérios.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) I.
Incorreta. Suas proporções (≈1,571 e ≈1,272) estão distantes de Φ.
🔴 B) II.
Incorreta. Embora a primeira proporção (≈1,615) seja excelente, a segunda (≈1,444) é fraca, tornando-a menos ideal que a candidata V.
🔴 C) III.
Incorreta. Ambas as proporções (≈1,769 e ≈1,857) estão muito longe do valor de referência.
🟡 D) IV.
A que mais confunde (junto com a B). Apresenta uma proporção excelente (1,625), mas a outra é fraca (≈1,538). A consistência da Candidata V é superior.
🟢 E) V.
Correta. É a única candidata com ambas as proporções (≈1,615 e 1,625) muito próximas do número de ouro (1,618).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 🗒️
A solução foi encontrada através da aplicação sistemática das fórmulas de proporção (M1/M3 e M3/M2) para cada uma das cinco candidatas. A candidata selecionada foi aquela cujo par de resultados se aproximou mais consistentemente do valor da proporção áurea (Φ ≈ 1,618).
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E, pois a Candidata V apresentou o conjunto de medidas mais harmonioso segundo o critério estabelecido.
Resumo Final para Revisão
Em questões que envolvem múltiplos cálculos e comparações, a organização é fundamental. Crie uma pequena tabela para anotar os resultados de cada etapa. Isso evita confusão e permite uma comparação final clara e precisa.
