Uma característica interessante do som é sua frequência. Quando uma fonte sonora se aproxima do ouvinte, o som ouvido por ele tem uma frequência maior do que o som produzido pela mesma fonte sonora, se ela estiver parada. Entretanto, se a fonte sonora se afasta do ouvinte, a frequência é menor. Esse fenômeno é conhecido como efeito Doppler.
Um ouvinte parado junto a uma fonte ouve o seu som com uma frequência constante, que será denotada por ƒ. Quatro experimentos foram feitos com essa fonte sonora em movimento. Denotaremos por ƒ1 , ƒ2 , ƒ3 e ƒ4 as frequências do som da fonte sonora em movimento ouvido pelo ouvinte, que continua parado, nos experimentos 1, 2, 3 e 4, respectivamente.
Depois de calculadas as frequências, as seguintes relações foram obtidas:
ƒ1 = 1,1ƒ, ƒ2 = 0,99ƒ1 , ƒ1 = 0,9ƒ3 e ƒ4 = 0,9ƒ
Em quais experimentos a fonte sonora se afastou do ouvinte?
A) Somente nos experimentos 1, 2 e 3.
B) Somente nos experimentos 2, 3 e 4.
C) Somente nos experimentos 2 e 4.
D) Somente nos experimentos 3 e 4.
E) Somente no experimento 4.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Álgebra Básica (Manipulação de Equações)
- Análise de Desigualdades (Comparação de Números)
- Interpretação de Texto
Tema/Objetivo Geral: Modelagem Matemática e Análise de Equações.
Nível da Questão: Médio – A questão exige a tradução de um fenômeno físico em um critério matemático e a manipulação de um sistema de equações para comparar todas as variáveis a um referencial comum. O nível é médio devido aos múltiplos passos e à necessidade de atenção para não errar na álgebra, especialmente ao isolar uma variável.
Gabarito: E) Somente no experimento 4. Apenas no experimento 4 a frequência ouvida (ƒ₄) é menor que a frequência da fonte (ƒ), o que, segundo a regra do problema, indica que a fonte se afastou.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“Em quais experimentos a fonte sonora se afastou do ouvinte?”
O que está sendo pedido?
O problema nos pede para identificar quais dos quatro experimentos (1, 2, 3 ou 4) correspondem a uma situação em que a fonte sonora estava se afastando do ouvinte.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é usar a regra fornecida pelo problema (afastar = frequência menor) para analisar cada uma das quatro frequências (ƒ₁, ƒ₂, ƒ₃, ƒ₄). Para fazer isso, precisamos expressar todas elas em função da frequência de referência ƒ para podermos compará-las.
Pergunta de Atenção
Você notou que a chave para resolver tudo é ter a mesma “moeda de troca” para comparar as frequências? Nosso trabalho será converter tudo para termos de ƒ!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definições e Fórmulas / explicação de termos
O próprio enunciado nos dá as “fórmulas” ou regras que precisamos. Vamos organizá-las:
- Efeito Doppler (Regra do Problema):
- Se a fonte se aproxima, a frequência ouvida é maior que a frequência da fonte parada (ƒ_ouvida > ƒ).
- Se a fonte se afasta, a frequência ouvida é menor que a frequência da fonte parada (ƒ_ouvida < ƒ).
- Análise por Coeficiente:
Podemos traduzir essa regra para uma análise matemática. Se expressarmos a frequência ouvida (ƒ_ouvida) como um múltiplo da frequência parada (ƒ), ou seja, ƒ_ouvida = k * ƒ:- Se o coeficiente k > 1, então ƒ_ouvida > ƒ (Aproximação).
- Se o coeficiente k < 1, então ƒ_ouvida < ƒ (Afastamento).
- Se o coeficiente k = 1, então ƒ_ouvida = ƒ (Fonte parada).
Nosso trabalho será encontrar o valor de k para cada um dos quatro experimentos.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada
Imagine que ƒ é o “tom normal” da sirene de uma ambulância quando ela está parada. O problema nos dá várias pistas embaralhadas sobre os tons ouvidos em quatro situações diferentes (ƒ₁, ƒ₂, ƒ₃, ƒ₄). Nosso trabalho é desembaraçar essas pistas para descobrir, para cada situação, se o tom ouvido era mais agudo (aproximando) ou mais grave (afastando) que o “tom normal” ƒ.
Estratégia Geral
Nossa estratégia será:
- Pegar cada uma das quatro equações fornecidas.
- Manipular algebricamente para que todas fiquem na forma ƒₓ = k * ƒ.
- Analisar o coeficiente k de cada uma. Se k < 1, a fonte se afastou.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
Vamos analisar cada frequência, uma por uma, para expressá-la em função de ƒ.
- Análise de ƒ₁:
A equação já é dada: ƒ₁ = 1,1ƒ.
O coeficiente é 1,1. Como 1,1 > 1, a fonte se aproximou.
- Análise de ƒ₄:
A equação também já é dada: ƒ₄ = 0,9ƒ.
O coeficiente é 0,9. Como 0,9 < 1, a fonte se afastou.
- Análise de ƒ₂:
A equação é ƒ₂ = 0,99ƒ₁. Precisamos substituir ƒ₁ pela sua expressão em termos de ƒ.
ƒ₂ = 0,99 * (1,1ƒ)
ƒ₂ = 1,089ƒ
O coeficiente é 1,089. Como 1,089 > 1, a fonte se aproximou.
- Análise de ƒ₃:
A equação é ƒ₁ = 0,9ƒ₃. Aqui, precisamos primeiro isolar ƒ₃.
ƒ₃ = ƒ₁ / 0,9
Agora, substituímos ƒ₁ por 1,1ƒ:
ƒ₃ = (1,1ƒ) / 0,9
ƒ₃ ≈ 1,222…ƒ
O coeficiente é aproximadamente 1,22. Como 1,22 > 1, a fonte se aproximou.
Verificação Intermediária
Resumindo nossos resultados:
- Experimento 1 (ƒ₁): Aproximação (k = 1,1)
- Experimento 2 (ƒ₂): Aproximação (k = 1,089)
- Experimento 3 (ƒ₃): Aproximação (k ≈ 1,22)
- Experimento 4 (ƒ₄): Afastamento (k = 0,9)
Possível armadilha
A principal armadilha está na equação de ƒ₃: ƒ₁ = 0,9ƒ₃. Alguém desatento poderia olhar o 0,9 e pensar que ƒ₃ é menor que ƒ₁, e portanto indica afastamento. No entanto, é preciso isolar ƒ₃ para entender a relação corretamente. Como ƒ₃ = ƒ₁ / 0,9, e dividir por um número menor que 1 na verdade aumenta o valor, ƒ₃ é maior que ƒ₁.
Fechamento e expectativa
Nossa análise mostra que apenas no experimento 4 a frequência ouvida foi menor que a frequência da fonte, o que caracteriza o afastamento. Portanto, esperamos que a resposta seja “Somente no experimento 4”.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) Somente nos experimentos 1, 2 e 3.
B) Somente nos experimentos 2, 3 e 4.
C) Somente nos experimentos 2 e 4.
D) Somente nos experimentos 3 e 4.
E) Somente no experimento 4.
Justificativa Individual
- A) Somente nos experimentos 1, 2 e 3. 🔴 Incorreta. Nos experimentos 1, 2 e 3, a fonte estava se aproximando (frequência maior que ƒ).
- B) Somente nos experimentos 2, 3 e 4. 🔴 Incorreta. Inclui os experimentos 2 e 3, que são de aproximação.
- C) Somente nos experimentos 2 e 4. 🔴 Incorreta. Inclui o experimento 2, que é de aproximação.
- D) Somente nos experimentos 3 e 4. 🔴 Incorreta. Inclui o experimento 3, que é de aproximação.
- E) Somente no experimento 4. 🟢 Correta. Conforme nosso cálculo, este é o único experimento em que a frequência ouvida (ƒ₄ = 0,9ƒ) é menor que a frequência da fonte, indicando afastamento.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
Para determinar em quais experimentos a fonte se afastava, convertemos todas as frequências experimentais (ƒ₁, ƒ₂, ƒ₃, ƒ₄) para uma forma comparável, como múltiplos da frequência de referência ƒ. Ao analisar os coeficientes, concluímos que apenas ƒ₄ era menor que ƒ (ƒ₄ = 0,9ƒ), satisfazendo a condição de afastamento.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E) Somente no experimento 4.
Resumo Final para Revisão 🔍
Para comparar diferentes variáveis, primeiro expresse todas em função de uma única variável de referência. Em problemas de “maior que” ou “menor que”, compare os coeficientes multiplicadores com o número 1.
