Questão 146, caderno azul do ENEM 2014

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x.5^y.7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de N, diferentes de N, é

A) x. y. z

B) (x+ 1).(y + 1)

C) x . y . z – 1

D) (x + 1).(y + 1).z

E) (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1

Resolução em texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Teoria dos Números (Decomposição em Fatores Primos, Divisibilidade, Múltiplos)
Análise de Expressões Algébricas

🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo do número de divisores de um número a partir de sua forma fatorada e da interpretação de suas propriedades.

🎯 Nível da Questão: Difícil.

Detalhe: A questão é considerada difícil porque não se trata de uma simples aplicação de fórmula. Ela exige a interpretação de condições abstratas (“múltiplo de 10”, “não é múltiplo de 7”) para deduzir os valores ou restrições dos expoentes (x, y e z). Além disso, a pergunta sobre “divisores diferentes de N” adiciona uma camada extra de atenção, e a resposta é uma expressão geral, o que pode confundir.

✅ Gabarito: E

A alternativa está correta porque a expressão (x + 1)(y + 1)(z + 1) representa o número total de divisores de N. Para encontrar o número de divisores diferentes de N, basta subtrair 1.

📖 Resolução Passo a Passo

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial 📌
“O número de divisores de N, diferentes de N, é”

1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para encontrarmos a expressão algébrica que representa a quantidade total de divisores do número N, excluindo o próprio número N da contagem.

1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é usar as informações do enunciado para entender a estrutura do número N e, a partir daí, aplicar a fórmula correta para o número de divisores, fazendo o ajuste final de subtrair 1.

1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você se lembra da fórmula para calcular a quantidade total de divisores de um número a partir da sua fatoração em primos? Ela é a chave de todo o problema!

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para decifrar este problema, precisamos dominar três conceitos:

1. Decomposição em Fatores Primos: Todo número inteiro maior que 1 pode ser escrito de forma única como um produto de números primos. O problema já nos deu o número N nessa forma: N = 2^x . 5^y . 7^z.
- Exemplo do cotidiano: É como dar a “receita genética” de um número. O número 12, por exemplo, tem a receita 2² . 3¹.
2. Fórmula do Número de Divisores (d(N)): Se um número N tem a forma fatorada N = p₁^a . p₂^b . p₃^c …, onde p₁, p₂, p₃ são primos e a, b, c são seus expoentes, o número total de divisores de N é:
- Fórmula: d(N) = (a + 1) . (b + 1) . (c + 1) …
- Exemplo com o 12 = 2² . 3¹: O número de divisores é d(12) = (2 + 1) . (1 + 1) = 3 . 2 = 6. (Os divisores são 1, 2, 3, 4, 6 e 12).
3. Propriedades de Múltiplos:
- Ser múltiplo de 10: Significa ser divisível por 10, o que implica ser divisível por 2 e por 5 ao mesmo tempo.
- Não ser múltiplo de 7: Significa que o número 7 não pode ser um de seus fatores primos.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada 📌
Temos um número secreto N, e conhecemos sua “fórmula genética”: 2^x . 5^y . 7^z. O problema nos dá duas pistas cruciais sobre ele: ele é parente do 10, mas não é parente do 7. Com base nisso, precisamos encontrar uma expressão geral para contar todos os seus divisores, mas com uma condição: o próprio N não pode entrar na festa.

3.2 Estratégia Geral 📌
Nosso plano de ataque será:

Aplicar a fórmula geral para o número total de divisores na expressão de N.
Ajustar essa fórmula para excluir o próprio N da contagem.
Analisar o que as pistas sobre os múltiplos nos dizem sobre os expoentes x, y e z, para confirmar nosso raciocínio.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar nossa estratégia.

Passo A: Encontrar a fórmula para o número TOTAL de divisores de N
- A expressão de N é N = 2^x . 5^y . 7^z.
- Os expoentes dos fatores primos são x, y e z.
- Usando a fórmula do número de divisores, pegamos cada expoente, somamos 1 e multiplicamos tudo:
- Total de divisores = (x + 1) . (y + 1) . (z + 1)
Passo B: Ajustar a fórmula para “divisores diferentes de N”
- A fórmula acima inclui todos os divisores, de 1 até o próprio N.
- A questão pede para excluir o N. Portanto, basta subtrair 1 do total.
- Divisores diferentes de N = (x + 1) . (y + 1) . (z + 1) – 1
Passo C: Usando as pistas para entender os expoentes (verificação)
- “N não é múltiplo de 7”: Isso significa que o fator primo 7 não pode aparecer na decomposição. A única forma de 7^z não “contaminar” o número com o fator 7 é se z = 0, pois 7^0 = 1. Então, z tem que ser 0.
- “N é múltiplo de 10”: Isso significa que N é divisível por 2 e por 5. Para isso, os fatores 2 e 5 devem estar presentes. Logo, seus expoentes x e y não podem ser zero. Como o enunciado diz que são “inteiros não negativos” (≥ 0), essa pista nos força a concluir que x ≥ 1 e y ≥ 1.

4.2 Verificação Intermediária 📌
A expressão que encontramos, (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1, é a expressão geral que nos dá o número de divisores próprios (todos menos ele mesmo). Ela corresponde exatamente à alternativa E.

4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é usar as pistas para simplificar a expressão antes de olhar as alternativas. Você poderia pensar: “Ok, se z=0, então a forma de N é 2^x . 5^y”. O número total de divisores seria (x+1)(y+1). E os divisores diferentes de N seriam (x+1)(y+1) – 1. Aí você procuraria essa expressão nas alternativas e não a encontraria! A pegadinha é que a questão pede a fórmula geral em termos de x, y e z, que seja válida para a expressão N = 2^x . 5^y . 7^z, e a alternativa E é essa fórmula. As pistas servem para contextualizar e entender as propriedades de N.

4.4 Fechamento e expectativa
Nossa análise nos levou a uma fórmula geral, (x+1)(y+1)(z+1) – 1. Esperamos que essa expressão exata esteja entre as opções.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) x. y. z
B) (x + 1).(y + 1)
C) x . y . z – 1
D) (x + 1).(y + 1).z
E) (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1

5.2 Justificativa Individual

A) x. y. z (🔴) Incorreta. Esta expressão não tem relação com a fórmula correta do número de divisores.
B) (x + 1).(y + 1) (🔴) Incorreta. Esta seria a fórmula para o número total de divisores se soubéssemos que z = 0 e ignorássemos o termo z. Além disso, não subtrai 1 para excluir o próprio N. É uma armadilha dupla.
C) x . y . z – 1 (🔴) Incorreta. Usa a fórmula errada (x.y.z), embora acerte ao subtrair 1.
D) (x + 1).(y + 1).z (🔴) Incorreta. Mistura a parte correta da fórmula ((x+1)(y+1)) com uma parte errada (multiplica por z em vez de (z+1)).
E) (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1 (🟢) Correta. Corresponde perfeitamente à fórmula do número total de divisores, (x+1)(y+1)(z+1), com a subtração de 1 para excluir o próprio N.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi encontrar a fórmula geral para o número total de divisores de um número na forma p₁^a . p₂^b . p₃^c, que é (a+1)(b+1)(c+1). Como a questão pedia o número de divisores “diferentes de N”, subtraímos 1 do total, chegando à expressão da alternativa E.

6.2 Gabarito Reafirmado 📌
O gabarito correto é a alternativa E.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A dica de ouro da Teoria dos Números é: para contar divisores, primeiro fatore o número, depois pegue cada expoente, some 1 e multiplique os resultados. Se pedirem “divisores diferentes do número” ou “divisores próprios”, lembre-se de subtrair 1 no final.