Em um folheto de propaganda foi desenhada uma planta de um apartamento medindo 6 m × 8 m, na escala 1 : 50. Porém, como sobrou muito espaço na folha, foi decidido aumentar o desenho da planta, passando para a escala 1 : 40.
Após essa modificação, quanto aumentou, em cm² , a área do desenho da planta?
A) 0,0108
B) 108
C) 191,88
D) 300
E) 43 200
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Escala Numérica
- Cálculo de Área (Retângulo)
- Conversão de Unidades (Metros para Centímetros)
- Proporcionalidade (Regra de Três)
Tema/Objetivo Geral: Cálculo de Variação de Área com Mudança de Escala.
Nível da Questão: Médio – A questão é considerada de nível médio porque envolve múltiplas etapas: conversão de unidades, aplicação de duas escalas diferentes, cálculo de duas áreas distintas e, finalmente, a subtração entre elas. O conceito de que uma escala com denominador menor (1:40) resulta em um desenho maior é contra-intuitivo para alguns, e a conversão de unidades de área é uma fonte comum de erros.
Gabarito: B) 108. Esta alternativa está correta porque representa a diferença exata entre a área do desenho na escala 1:40 (que é 300 cm²) e a área do desenho na escala 1:50 (que é 192 cm²).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“Após essa modificação, quanto aumentou, em cm² , a área do desenho da planta?”
O que está sendo pedido?
O exercício quer que a gente calcule a diferença, em centímetros quadrados, entre a área do novo desenho (na escala maior) e a área do desenho antigo (na escala menor).
Objetivo Cristalino
Vamos encontrar a área do desenho em cada uma das duas escalas e, em seguida, subtrair a área menor da maior para descobrir o valor do aumento.
Pergunta de Atenção
Você se lembra que, em escalas, um denominador menor significa um desenho maior? Ou seja, a escala 1:40 produz um desenho maior que a escala 1:50. Esse detalhe é fundamental!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver, precisamos dominar os seguintes conceitos:
- Escala Numérica: É a relação entre a medida de um objeto no desenho e sua medida na realidade.
- Fórmula: Escala = Medida no Desenho / Medida Real
- Interpretação: Uma escala de 1 : 50 significa que cada 1 cm no desenho representa 50 cm na realidade.
- Conversão de Unidades: É essencial que as medidas do desenho e da realidade estejam na mesma unidade. Como a resposta é pedida em cm², vamos converter tudo para centímetros.
- Lembrete: 1 metro = 100 centímetros.
- Área de um Retângulo:
- Fórmula: Área = Comprimento × Largura.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada
Imagine que você tem a planta de um apartamento. Primeiro, ela foi impressa em um tamanho (escala 1:50). Depois, para ficar mais fácil de ver, ela foi reimpressa em um tamanho um pouco maior (escala 1:40). Nossa tarefa é calcular exatamente quantos centímetros quadrados de papel essa nova impressão ocupa a mais que a antiga.
Estratégia Geral
Nosso plano será o seguinte:
- Converter as medidas reais do apartamento de metros para centímetros.
- Usar a escala 1:50 para calcular as dimensões e a área do primeiro desenho.
- Usar a escala 1:40 para calcular as dimensões e a área do segundo desenho.
- Subtrair a primeira área da segunda para encontrar o aumento.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Converter as medidas reais para centímetros
As medidas reais do apartamento são 6 m por 8 m.
- Comprimento real = 8 m = 800 cm
- Largura real = 6 m = 600 cm
Etapa 2: Calcular a área do desenho na escala antiga (1 : 50)
Vamos achar as dimensões do desenho dividindo as medidas reais pelo fator da escala (50).
- Comprimento no desenho 1 = 800 cm / 50 = 16 cm
- Largura no desenho 1 = 600 cm / 50 = 12 cm
Agora, calculamos a área deste primeiro desenho: - Área 1 = 16 cm * 12 cm = 192 cm²
Etapa 3: Calcular a área do desenho na nova escala (1 : 40)
Agora, dividimos as medidas reais pelo novo fator de escala (40).
- Comprimento no desenho 2 = 800 cm / 40 = 20 cm
- Largura no desenho 2 = 600 cm / 40 = 15 cm
Calculando a área do segundo desenho: - Área 2 = 20 cm * 15 cm = 300 cm²
Verificação Intermediária
Até aqui, temos a área do desenho antigo (192 cm²) e a área do desenho novo (300 cm²). Como esperado, o desenho na escala 1:40 tem uma área maior.
Etapa 4: Calcular o aumento da área
A pergunta é “quanto aumentou?”, então subtraímos a área antiga da nova.
- Aumento da Área = Área 2 – Área 1
- Aumento da Área = 300 cm² – 192 cm²
- Aumento da Área = 108 cm²
Possível armadilha
Uma armadilha comum seria calcular a área real em m² (48 m²) e tentar aplicar a escala diretamente, o que pode gerar confusão com as unidades. Outro erro é não aplicar a escala às duas dimensões (comprimento e largura), aplicando apenas a uma. O método de calcular as dimensões no desenho primeiro, como fizemos, é mais seguro e intuitivo.
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo passo a passo nos mostrou que o aumento da área do desenho na folha foi de 108 cm². Agora, vamos confirmar se essa resposta está nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) 0,0108
B) 108
C) 191,88
D) 300
E) 43 200
Justificativa Individual
- A) 0,0108 🔴 Incorreta. Este valor provavelmente vem de um grande erro na conversão de unidades (por exemplo, de cm² para m², mas de forma equivocada).
- B) 108 🟢 Correta. Este é o valor exato da diferença entre a área do novo desenho (300 cm²) e a do antigo (192 cm²).
- C) 191,88 🔴 Incorreta. Não corresponde a nenhuma operação lógica com os dados do problema.
- D) 300 🔴 Incorreta. Este é o valor da área do novo desenho, mas a pergunta pede o aumento em relação ao desenho antigo. É um distrator comum.
- E) 43 200 🔴 Incorreta. Este valor não tem relação com os cálculos corretos e provavelmente resulta de uma confusão entre medidas reais e medidas no desenho.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
Para resolver o problema, convertemos as medidas reais para centímetros, calculamos as dimensões e a área do desenho para cada uma das duas escalas (1:50 e 1:40) e, por fim, subtraímos as duas áreas para encontrar o aumento exato de 108 cm².
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B) 108.
Resumo Final para Revisão
Lembre-se: escala linear (como 1:50) se aplica a medidas de comprimento. Para encontrar a área de um desenho, aplique a escala a cada dimensão (comprimento e largura) primeiro e só depois multiplique os resultados. Isso evita erros com unidades de área.
