O proprietário de uma casa de espetáculos observou que, colocando o valor da entrada a R$ 10,00, sempre contava com 1 000 pessoas a cada apresentação, faturando R$ 10 000,00 com a venda dos ingressos. Entretanto, percebeu também que, a partir de R$ 10,00, a cada R$ 2,00 que ele aumentava no valor da entrada, recebia para os espetáculos 40 pessoas a menos.
Nessas condições, considerando P o número de pessoas presentes em um determinado dia e F o faturamento com a venda dos ingressos, a expressão que relaciona o faturamento em função do número de pessoas é dada por:
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função Quadrática (Função do 2º Grau)
- Sistemas de Equações Lineares
- Interpretação de Problemas
Tema/Objetivo Geral: Modelagem Matemática de uma Situação de Negócios.
Nível da Questão: Difícil – A questão é considerada difícil porque exige que o aluno construa a função do zero, a partir da interpretação do enunciado. Não é um problema de aplicação direta de fórmula. É preciso relacionar o preço do ingresso com o número de pessoas e depois montar a função do faturamento, que resulta em uma função quadrática. A alternativa de testar os pontos é mais fácil, mas a construção da função é o caminho mais completo e desafiador.
Gabarito: A) F = -P²/20 + 60P. Esta alternativa está correta porque a função descreve perfeitamente a relação entre o número de pessoas (P) e o faturamento (F), o que pode ser verificado substituindo o ponto conhecido (P=1000, F=10000) e deduzindo a relação entre preço e público.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“…a expressão que relaciona o faturamento em função do número de pessoas é dada por:”
O que está sendo pedido?
O problema quer que a gente encontre uma fórmula matemática (uma função) que calcule o Faturamento (F) com base apenas no Número de Pessoas (P) presentes.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é modelar matematicamente a relação entre o preço do ingresso, o número de pessoas e o faturamento, para no fim expressar o faturamento apenas em termos do número de pessoas.
Pergunta de Atenção
Você percebeu que o faturamento é sempre Preço do Ingresso × Número de Pessoas? A chave do problema é descobrir como escrever o “Preço do Ingresso” usando apenas a variável P.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definições e Fórmulas / explicação de termos📌
Para construir a solução, precisamos dos seguintes conceitos:
- Faturamento (F): É a receita total obtida com a venda dos ingressos.
- Fórmula: F = Preço_do_Ingresso × P (onde P é o número de pessoas).
- Relação Linear: Duas variáveis têm uma relação linear quando a mudança em uma causa uma mudança proporcional na outra. Vamos usar isso para relacionar o Preço e o Público.
Vamos definir nossas variáveis:
- P: Número de pessoas presentes.
- V: Valor (preço) do ingresso.
- F: Faturamento total.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada
O dono da casa de espetáculos tem um dilema: se ele aumenta o preço do ingresso, menos pessoas vêm ao show. Se ele baixa o preço, mais pessoas vêm. Nosso trabalho é criar uma “calculadora mágica” (a função) que, ao inserirmos o número de pessoas que foram ao show (P), ela nos diga qual foi o faturamento total (F) naquele dia, levando em conta essa relação entre preço e público.
Estratégia Geral
O plano para construir a função é o seguinte:
- Encontrar a relação entre Preço (V) e Público (P): O enunciado diz que a partir de um ponto base (P=1000, V=10), para cada R$ 2,00 de aumento no preço, o público diminui em 40 pessoas. Vamos transformar isso em uma equação linear.
- Isolar o Preço (V) na equação: Vamos reescrever a equação para que tenhamos V = … em função de P.
- Substituir na fórmula do Faturamento: Pegamos a fórmula F = V × P e substituímos o V pela expressão que encontramos no passo 2. O resultado será a função que procuramos, com F dependendo apenas de P.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Encontrar a relação entre Preço (V) e Público (P)
Vamos partir do ponto inicial: quando o público é P = 1000, o preço é V = 10.
O enunciado diz que, a cada R$ 2,00 de aumento no preço, o público diminuem 40. Isso nos dá uma taxa de variação:
- ΔP/ΔV = – 1 de aumento no preço, o público cai em 20 pessoas).
Podemos modelar isso como uma função linear P = aV + b. Sabemos que a inclinação a = -20.
P = -20V + b
Para encontrar b, usamos o ponto conhecido (V=10, P=1000):
1000 = -20 * (10) + b
1000 = -200 + b
b = 1200
Portanto, a relação é: P = -20V + 1200.
Etapa 2: Isolar o Preço (V) em função de P
Vamos pegar a equação que encontramos e reorganizá-la para ter V sozinho:
P = -20V + 1200
P – 1200 = -20V
20V = 1200 – P
V = (1200 – P) / 20
V = 1200/20 – P/20
V = 60 – P/20
Etapa 3: Substituir V na fórmula do Faturamento
Agora, usamos a fórmula do faturamento F = V * P e substituímos a expressão de V que acabamos de encontrar:
F = (60 – P/20) * P
Aplicando a propriedade distributiva:
F = 60 * P – (P/20) * P
F = 60P – P²/20
Reorganizando para ficar igual ao formato da alternativa:
F = -P²/20 + 60P
Verificação Intermediária (Método Rápido)
Podemos usar um método muito inteligente: testar o ponto conhecido. Vamos fazer isso com a nossa resposta.
A fórmula é F = -P²/20 + 60P.
Se P = 1000, o F tem que ser 10.000.
Vamos ver:
F = -(1000)²/20 + 60 * 1000
F = -1.000.000 / 20 + 60.000
F = -50.000 + 60.000
F = 10.000
Funcionou perfeitamente!
Possível armadilha
A principal armadilha na construção da função é errar na modelagem da relação entre preço e público. Um erro no sinal ou na taxa de variação (por exemplo, usar 40/2 em vez de -40/2) levaria a uma função completamente diferente. O método de testar o ponto é mais seguro se você não estiver confiante em montar a função do zero.
Fechamento e expectativa
Nossa construção detalhada da função nos levou à expressão F = -P²/20 + 60P, que também foi validada pelo teste com o ponto inicial. Esperamos encontrar exatamente essa expressão nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) F = -P²/20 + 60P
B) F = P²/20 – 60P
C) F = -P² + 1200P
D) F = -P²/20 + 60
E) F = P² – 1200P
Justificativa Individual
- A) F = -P²/20 + 60P 🟢 Correta. Esta é exatamente a função que derivamos e que satisfaz a condição inicial (P=1000, F=10000).
- B) F = P²/20 – 60P 🔴 Incorreta. Os sinais estão invertidos. Ao testar o ponto P=1000, teríamos F = 50.000 – 60.000 = -10.000, o que não faz sentido.
- C) F = -P² + 1200P 🔴 Incorreta. Embora os sinais estejam na direção correta, os coeficientes estão errados. Testando P=1000, teríamos F = -1.000.000 + 1.200.000 = 200.000, que não é 10.000.
- D) F = -P²/20 + 60 🔴 Incorreta. Falta o P multiplicando o 60. Essa função não representa um faturamento. Testando P=1000, o resultado seria -50.000 + 60 = -49.940.
- E) F = P² – 1200P 🔴 Incorreta. Coeficientes e sinais errados. Testando P=1000, o resultado seria 1.000.000 – 1.200.000 = -200.000.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao modelar a relação linear entre o preço (V) e o público (P), resultando na equação P = -20V + 1200. A partir dela, isolamos V e substituímos na fórmula do faturamento (F = V*P), o que nos levou à função quadrática F = -P²/20 + 60P.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A) F = -P²/20 + 60P.
Resumo Final para Revisão
Para modelar o faturamento, lembre-se da fórmula F = Preço × Público. Se o preço depende do público (ou vice-versa), encontre essa relação primeiro e depois substitua na fórmula do faturamento para eliminar uma das variáveis.
