Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados.
Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem desse plano de treino diário?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 12
E) 13
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Progressão Aritmética (P.A.) – Soma dos Termos
- Conversão de Unidades (Quilômetros para Metros)
- Resolução de Inequações
Tema/Objetivo Geral: Aplicação da Soma de uma Progressão Aritmética em um Problema Prático.
Nível da Questão: Médio – A questão é de nível médio, pois exige a identificação de um padrão de P.A., a aplicação da fórmula da soma dos termos (e não do termo geral) e a interpretação correta do que significa “armazenar a quilometragem” (soma cumulativa). A resolução manual é possível, mas mais longa e suscetível a erros.
Gabarito: B) 8. A alternativa está correta porque a soma total das distâncias percorridas ao longo de 8 dias cabe na memória do chip, mas a soma total ao longo de 9 dias ultrapassa o limite máximo de armazenamento.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem desse plano de treino diário?”
O que está sendo pedido?
O problema quer que a gente encontre o número máximo de dias completos de treino cuja distância total acumulada não ultrapasse a capacidade de memória do chip.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é determinar o maior número inteiro de dias n para o qual a soma de todas as distâncias diárias percorridas seja menor ou igual a 9,5 km.
Pergunta de Atenção
Você percebeu que a questão pede para somar as distâncias de todos os dias, e não apenas analisar a distância de um único dia? A palavra-chave aqui é “acumular” o rendimento.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver essa questão de forma eficiente, vamos usar os conceitos de Progressão Aritmética (P.A.).
- Conversão de Unidades: Primeiro, precisamos trabalhar com a mesma unidade. É mais fácil converter quilômetros para metros.
- 1 km = 1000 m
- Portanto, 9,5 km = 9.500 m. Esta é a capacidade máxima do chip.
- Progressão Aritmética (P.A.): É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada “razão”.
- A sequência de distâncias diárias é: 300 m, 500 m, 700 m, …
- Primeiro Termo (a₁): 300 (distância do primeiro dia).
- Razão (r): 200 (aumento diário da distância).
- Fórmula da Soma dos n Termos de uma P.A. (Sn): Esta fórmula calcula a soma de todos os termos desde o primeiro até o n-ésimo termo. É exatamente o que precisamos para encontrar a distância acumulada.
- Fórmula: Sn = ( (2 * a₁) + (n – 1) * r ) * n / 2
- Sn: Soma total da distância após n dias.
- a₁: Distância do primeiro dia (300).
- r: Aumento diário (200).
- n: Número de dias que queremos calcular.
- Fórmula: Sn = ( (2 * a₁) + (n – 1) * r ) * n / 2
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada
Pense no chip como um cofrinho com capacidade máxima para 9.500 moedas. No primeiro dia, o corredor coloca 300 moedas. No segundo, 500. No terceiro, 700, e assim por diante. Queremos saber por quantos dias seguidos ele consegue colocar todas as moedas do dia no cofre sem que ele transborde. A resposta será o último dia em que isso é possível.
Estratégia Geral
Nossa estratégia será:
- Converter o limite do chip para metros (9.500 m).
- Montar uma inequação usando a fórmula da soma da P.A., onde a soma Sn deve ser menor ou igual a 9.500.
- Testar os valores das alternativas (ou resolver a inequação) para encontrar o maior n (número de dias) que satisfaz a condição.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Montar a inequação da soma
Queremos encontrar o maior n tal que Sn ≤ 9500. Vamos substituir os valores da nossa P.A. na fórmula da soma:
a₁ = 300 e r = 200.
Sn = ( (2 * 300) + (n – 1) * 200 ) * n / 2 ≤ 9500
Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
( (600) + (200n – 200) ) * n / 2 ≤ 9500
( 400 + 200n ) * n / 2 ≤ 9500
Podemos dividir 400 + 200n por 2:
( 200 + 100n ) * n ≤ 9500
Para facilitar, vamos dividir toda a inequação por 100:
( 2 + n ) * n ≤ 95
Etapa 2: Testar os valores para encontrar n
Agora temos uma inequação bem mais simples: n * (n + 2) ≤ 95. Em vez de resolver a equação quadrática, é muito mais rápido testar os valores das alternativas.
- Para n = 7 (Alternativa A):
7 * (7 + 2) = 7 * 9 = 63. Como 63 ≤ 95, o chip armazena os 7 dias. - Para n = 8 (Alternativa B):
8 * (8 + 2) = 8 * 10 = 80. Como 80 ≤ 95, o chip também armazena os 8 dias. - Para n = 9 (Alternativa C):
9 * (9 + 2) = 9 * 11 = 99. Como 99 > 95, o chip não consegue armazenar os 9 dias completos.
Verificação Intermediária
O maior número inteiro de dias que satisfaz a condição é 8. No 9º dia, o limite de armazenamento seria excedido.
Método Alternativo (Soma Manual):
- Dia 1: 300
- Dia 2: 500 (Total: 800)
- Dia 3: 700 (Total: 1500)
- Dia 4: 900 (Total: 2400)
- Dia 5: 1100 (Total: 3500)
- Dia 6: 1300 (Total: 4800)
- Dia 7: 1500 (Total: 6300) → 6300 ≤ 9500 (OK)
- Dia 8: 1700 (Total: 6300 + 1700 = 8000) → 8000 ≤ 9500 (OK)
- Dia 9: 1900 (Total: 8000 + 1900 = 9900) → 9900 > 9500 (NÃO OK)
Possível armadilha
A armadilha mais comum é esquecer que o problema pede a soma acumulada (Sn) e, em vez disso, calcular para qual dia a distância diária (an) ultrapassa 9.500 metros. Isso é um erro de interpretação do que significa “armazenar a quilometragem”. Outra armadilha é um simples erro de cálculo na soma manual, o que torna o método da fórmula mais seguro.
Fechamento e expectativa
Ambos os métodos confirmam que o atleta pode treinar por 8 dias consecutivos. No nono dia, a memória do chip não seria suficiente. Portanto, esperamos encontrar o número 8 como resposta.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) 7
B) 8
C) 9
D) 12
E) 13
Justificativa Individual
- A) 7 🔴 Incorreta. Com 7 dias, a distância total é de 6.300 metros. O chip ainda tem capacidade, então este não é o número máximo de dias.
- B) 8 🟢 Correta. Com 8 dias, a distância total é de 8.000 metros, que está dentro do limite de 9.500 metros. É o último dia em que o treino completo pode ser armazenado.
- C) 9 🔴 Incorreta. A soma total para 9 dias seria de 9.900 metros, que excede a capacidade do chip. Portanto, o 9º dia não pode ser totalmente armazenado.
- D) 12 🔴 Incorreta. Se o limite já é ultrapassado no 9º dia, é impossível que dure 12 dias.
- E) 13 🔴 Incorreta. Pelo mesmo motivo da alternativa D, esta opção está incorreta.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
Identificamos que as distâncias diárias formam uma Progressão Aritmética. Utilizando a fórmula da soma dos termos da P.A., determinamos que a distância total acumulada em 8 dias (8.000 m) cabe na memória de 9.500 m do chip, mas a de 9 dias (9.900 m) não.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B) 8.
Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas que envolvem um valor que aumenta constantemente e pedem um total acumulado, pense em Progressão Aritmética. A fórmula da soma (Sn) é sua ferramenta mais poderosa para evitar longas e arriscadas somas manuais.
