Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:
A nota zero permanece zero.
A nota 10 permanece 10.
A nota 5 passa a ser 6.
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função Polinomial (especialmente a de 2º Grau, ou Quadrática)
- Sistemas de Equações Lineares
- Álgebra Básica (manipulação de equações com frações)
- Interpretação de Enunciados
🎯 Tema/Objetivo Geral: Determinação da lei de formação de uma função quadrática a partir de três pontos dados.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque, embora não exija conceitos avançados, sua resolução envolve várias etapas: interpretar o problema, escolher o modelo de função correto, montar um sistema de equações e resolvê-lo cuidadosamente. Há várias oportunidades para pequenos erros de cálculo que podem levar a uma alternativa incorreta.
✅ Gabarito: A
- A alternativa está correta porque é a única expressão de função que satisfaz as três condições dadas no enunciado: passa pelos pontos (0, 0), (10, 10) e (5, 6).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é…”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para encontrarmos a fórmula matemática (a lei de formação) da função que o professor usará para recalcular as notas.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é transformar as três regras dadas pelo professor em pontos num plano cartesiano e usar esses pontos para descobrir os coeficientes de uma função polinomial.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você notou que o enunciado diz que a função é de “grau menor que 3”? Isso significa que ela pode ser de grau 2 (uma parábola), grau 1 (uma reta) ou grau 0 (constante). Como temos três condições (pontos), o modelo mais provável é uma função de grau 2, do tipo y = ax² + bx + c.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, precisamos saber o que é e como trabalhar com uma função polinomial de 2º grau:
- Função Polinomial de 2º Grau (Função Quadrática): É toda função que pode ser escrita na forma geral:
- y = ax² + bx + c
- Onde a, b e c são números reais chamados de coeficientes, e a não pode ser zero. Nosso trabalho é descobrir os valores de a, b e c.
- Pontos da Função: As condições dadas pelo professor podem ser lidas como pares ordenados (x, y), onde x é a nota original e y é a nova nota:
- A nota zero permanece zero → Ponto (0, 0)
- A nota 10 permanece 10 → Ponto (10, 10)
- A nota 5 passa a ser 6 → Ponto (5, 6)
- Sistema de Equações: Como temos três incógnitas (a, b, c) e três pontos (informações), podemos montar um sistema com três equações para encontrar esses valores.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Vamos “traduzir” o problema: precisamos encontrar a equação de uma curva (provavelmente uma parábola) que passa exatamente por três lugares no mapa: o ponto (0, 0), o ponto (10, 10) e o ponto (5, 6). Nossa missão é ser o detetive que descobre a “identidade” dessa curva, ou seja, sua fórmula.
3.2 Estratégia Geral 📌
Nossa estratégia será:
- Começar com a forma geral y = ax² + bx + c.
- Usar o ponto mais fácil, (0, 0), para encontrar o valor de c imediatamente.
- Usar os outros dois pontos, (10, 10) e (5, 6), para criar um sistema de duas equações com duas incógnitas (a e b).
- Resolver o sistema para encontrar a e b.
- Montar a equação final com os valores de a, b e c que encontramos.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos seguir nossa estratégia e construir a função.
- Etapa 1: Usando o ponto (0, 0) para achar c
- Pegamos a fórmula y = ax² + bx + c e substituímos x = 0 e y = 0.
- 0 = a(0)² + b(0) + c
- 0 = 0 + 0 + c
- c = 0
- Ótimo! Já simplificamos nossa função para: y = ax² + bx. Isso elimina a alternativa D, que tem c = 2.
- Etapa 2: Montando o sistema de equações
- Agora usamos os outros dois pontos na nossa nova função y = ax² + bx.
- Para o ponto (10, 10):
- 10 = a(10)² + b(10)
- 10 = 100a + 10b (Equação I)
- Para o ponto (5, 6):
- 6 = a(5)² + b(5)
- 6 = 25a + 5b (Equação II)
- Etapa 3: Resolvendo o sistema de equações
- Nosso sistema é:
- 100a + 10b = 10
- 25a + 5b = 6
- O método da adição (eliminação) é ótimo aqui. Vamos multiplicar a Equação II por -2 para podermos cancelar o termo b.
- (-2) × (25a + 5b = 6) → -50a – 10b = -12
- Agora, somamos essa nova equação com a Equação I:
- 100a + 10b = 10
- -50a – 10b = -12
- —————— (Somando as duas)
- 50a + 0b = -2
- 50a = -2 → a = -2 / 50 = -1 / 25
- Nosso sistema é:
- Etapa 4: Encontrando b
- Agora que sabemos que a = -1/25, podemos substituir esse valor em qualquer uma das equações originais para achar b. Vamos usar a Equação II, que tem números menores.
- 25a + 5b = 6
- 25(-1/25) + 5b = 6
- -1 + 5b = 6
- 5b = 6 + 1
- 5b = 7 → b = 7/5
- Etapa 5: Montando a equação final
- Encontramos a = -1/25, b = 7/5 e c = 0.
- Juntando tudo, a função é: y = – (1/25)x² + (7/5)x
4.2 Verificação Intermediária 📌
O resultado final corresponde exatamente à alternativa A.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha seria tentar usar uma função de grau 1 (uma reta), y = mx + c. Se você usasse os pontos (0,0) e (10,10), encontraria a função y = x. No entanto, ao testar o terceiro ponto (5,6) nessa função, você teria 6 = 5, o que é falso. Isso prova que uma reta não satisfaz todas as condições, e precisamos de uma função de grau 2.
4.4 Fechamento e expectativa
O nosso cálculo detalhado nos levou a uma função quadrática específica. Agora vamos confirmar se ela bate com uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) y = -1/25 x² + 7/5 x
B) y = -1/10 x² + 2x
C) y = 1/24 x² + 7/12 x
D) y = 4/5 x + 2
E) y = x
5.2 Justificativa Individual
- A) (🟢) Correta. Corresponde exatamente à função que encontramos resolvendo o sistema de equações.
- B) (🔴) Incorreta. Os coeficientes a e b estão errados. Se testarmos o ponto (10, 10): y = -1/10(100) + 2(10) = -10 + 20 = 10. Passa. Mas se testarmos (5, 6): y = -1/10(25) + 2(5) = -2,5 + 10 = 7,5. Não passa por (5, 6).
- C) (🔴) Incorreta. O coeficiente a é positivo, o que daria uma parábola com concavidade para cima. Nossa solução deu a negativo.
- D) (🔴) Incorreta. É uma função de grau 1 (reta). Como vimos, ela falha no ponto (0, 0), pois f(0) = 2.
- E) (🔴) Incorreta. É uma função de grau 1 (reta). Ela passa por (0, 0) e (10, 10), mas falha no ponto (5, 6), pois f(5) = 5, e não 6.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao traduzir as condições do problema em três pontos cartesianos. Usando a forma geral da função quadrática, y = ax² + bx + c, determinamos c=0 com o ponto (0,0) e, em seguida, montamos e resolvemos um sistema 2×2 com os outros dois pontos para encontrar os coeficientes a e b.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
O gabarito correto é a alternativa A, que apresenta a função y = -1/25 x² + 7/5 x.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A dica de ouro para encontrar a lei de formação de uma função: cada ponto (x, y) que pertence à função te dá uma equação. Com três pontos, você pode determinar uma função quadrática resolvendo o sistema de três equações para a, b e c.
