Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:
Considere que AC = 7/5 BD e que l é a medida de um dos lados da base da bandeja.
Qual deve ser o menor valor da razão l/BD para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez?
A) 2
B) 14/5
C) 4
D) 24/5
E) 28/5
🧠 Tema Geral: Geometria Plana – Disposição de objetos em bandejas quadradas
📚 Matérias Necessárias:
- Geometria Plana
- Relações de Proporcionalidade
- Interpretação Visual
📈 Nível da Questão:
Médio, pois exige interpretação de uma situação geométrica com figuras sobrepostas e conversão de medidas proporcionais.
A dificuldade está em compreender a estrutura do posicionamento dos copos e montar a soma dos segmentos corretamente.
✔️ GABARITO: Alternativa D – 24/5
✅ PASSO 1 — Análise do Comando e Objetivo
📌 Comando Essencial:
“Qual deve ser o menor valor da razão l/BD para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez?”
📌 O que está sendo pedido?
Calcular a razão entre o lado da bandeja (l) e a medida BD, de modo que caibam 4 copos.
📌 Objetivo Cristalino:
Entender a geometria formada pelos copos dispostos em bandeja quadrada e descobrir a menor medida de lado l da bandeja, expressa em função de BD, para que caibam os 4 copos perfeitamente.
📌 Dica:
A bandeja acomoda 2 copos na horizontal e 2 na vertical. Precisamos somar os diâmetros das bases dos copos e considerar as projeções maiores das taças.
💬 Possíveis Armadilhas:
Muitos acham que a base do copo é o espaço total ocupado, mas o copo se alarga, e precisamos considerar a projeção do ponto mais largo!
✔ Pergunta de Atenção:
Você sabe identificar quais partes do copo ultrapassam a base e como isso afeta o espaço necessário na bandeja?
✅ PASSO 2 — Explicação de Conceitos e conteúdos Necessários
📏 Figuras envolvidas:
- Bandeja: quadrada, lado = lll
- Copos: com formato semelhante a uma taça invertida, alargando-se até o ponto AC
📌 Medidas importantes:
- BD: raio da base do copo (menor extremidade)
- AC=7/5⋅BD: raio da parte mais larga da taça (projeção lateral)
🟩 Como a bandeja acomoda os copos?
Como queremos que caibam 4 copos, serão organizados em 2 linhas e 2 colunas, ou seja, em quadrado 2 × 2.
Precisamos calcular o lado mínimo l da bandeja, com base nas extremidades externas das taças, ou seja:
- De uma extremidade da taça da esquerda até a extremidade mais afastada da taça da direita.
- E a mesma coisa na vertical.
✅ PASSO 3 — Tradução e Interpretação do Texto
O texto diz:
- Os copos têm um formato semelhante ao de taças com projeção circular.
- Queremos uma bandeja quadrada capaz de comportar 4 copos (2 por linha e 2 por coluna).
- Precisamos expressar o lado da bandeja (l) em função da medida BD (base da taça).
Além disso, sabemos que a taça se alarga até a medida AC, que é dada em função de BD:
👉 AC=7/5⋅BD
✅ PASSO 4 — Desenvolvimento de Raciocínio
📐 Etapa 1: entender o espaço ocupado por 2 copos lado a lado
🔍 Para que caibam dois copos lado a lado, o lado da bandeja precisa cobrir:
- A projeção mais à esquerda da taça da esquerda: AC
- A base do copo da esquerda: BD
- A base do copo da direita: BD
- A projeção mais à direita da taça da direita: AC
✅ Então, o lado total da bandeja é:
- l=AC+BD+BD+AC=2AC+2BD
Substituindo AC=7/5⋅BD =
- l= 2⋅ 7/5. BD + 2BD=14/5.BD + 2BD
Agora somamos os termos:
- l=(14/5+10/5) BD= 24/5BD
📐 Etapa 2: Calcular a razão l/BD
l/BD=24/5 . BD ÷ BD = 24/5
✅ PASSO 5 — Análise das Alternativas
🔹 A) 222
❌ Muito pequeno — corresponde a apenas duas vezes a base, desconsiderando a largura maior da taça.
🔹 B) 14/5
❌ Apenas o equivalente à soma das duas extremidades maiores — não inclui as bases.
🔹 C) 444
❌ Corresponde a 2 bases e 2 ACs, mas AC não é o dobro de BD, então a conta não bate.
🔹 D) 24/5
✅ Correta. Corresponde a l= 2BD + 2AC= 24/5 ⋅ BD
🔹 E) 285
❌ Exagerado — incluiria uma margem maior que a necessária.
✅ PASSO 6 — Conclusão e Justificativa Final
Para que uma bandeja quadrada comporte exatamente quatro copos (2 por 2), ela precisa medir o suficiente para acomodar duas taças lado a lado com suas bases e projeções.
✅ Alternativa correta: Letra D
O segredo foi interpretar corretamente as partes da taça que ultrapassam sua base e expressar tudo em função de BD.
