Questão 169 caderno azul ENEM 2013

Considere o seguinte jogo de apostas:

Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.

Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:

Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos;

Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos;

Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos;

Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos;

Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são

A) Caio e Eduardo.

B) Arthur e Eduardo.

C) Bruno e Caio.

D) Arthur e Bruno.

E) Douglas e Eduardo.

🧠 Tema Geral: Probabilidade e Análise Combinatória – Cartelas de Jogo com Combinações

📚 Matérias Necessárias:

• Probabilidade (conceito de “jogos diferentes”)
• Análise Combinatória (combinação simples)
• Aritmética Financeira (uso do valor total disponível)

📈 Nível da Questão:

Médio, pois exige interpretação de tabela, leitura atenta do enunciado, uso de combinações e comparação de estratégias de investimento para maximizar a chance de acerto. A dificuldade está em perceber que mais números por cartela significam mais chances por jogo, ainda que com menos jogos.

✔️ GABARITO: Alternativa A — Caio e Eduardo

✅ PASSO 1 — Análise do Comando e Objetivo

📌 Comando Essencial:

“Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são…”

📌 O que está sendo pedido?
Identificar os dois apostadores que, com os R$ 500,00 disponíveis, têm as maiores chances de ganhar, ou seja, possuem o maior número total de combinações diferentes com 6 dezenas possíveis entre suas apostas.

📌 Objetivo Cristalino:
Calcular, para cada apostador, quantas combinações de 6 números ele consegue gerar (a partir de cartelas com 6 a 10 números). Depois, comparar essas quantidades e escolher os dois maiores valores.

📌 Dica:
Quanto mais números são escolhidos numa cartela, maior o número de combinações de 6 números que ela gera. Uma cartela com 10 números, por exemplo, equivale a 210 combinações diferentes de 6 dezenas!

💬 Possíveis Armadilhas:
Muitos alunos pensam que jogar mais vezes com menos números (cartela simples) sempre aumenta a chance. Mas às vezes uma cartela mais cara cobre muito mais combinações possíveis do que várias cartelas simples!

✔ Pergunta de Atenção:
Você sabia que uma única cartela pode conter várias combinações vencedoras, dependendo de quantos números ela tem?

✅ PASSO 2 — Explicação de Conceitos e conteúdos Necessários

📌 Combinatória: Combinação de n elementos tomados de 6 em 6
A fórmula da combinação é:

• Cn,6=n!/6!⋅(n−6)!

Essa fórmula nos diz quantas subconjuntos de 6 números podemos formar a partir de um grupo de n números diferentes.

Exemplo:

• Uma cartela com 6 números → gera 1 combinação
• Uma cartela com 10 números → gera

• C10,6=10!/6!⋅4!=210 combinações

📌 Probabilidade e Estratégia:
Mais cartelas com poucos números geram mais apostas simples, mas com menos combinações por cartela.

Menos cartelas com mais números geram menos apostas, mas cada uma cobre muito mais combinações possíveis — e isso aumenta a chance de acertar os 6 números sorteados.

✅ PASSO 3 — Tradução e Interpretação do Texto

✔ Todos os apostadores têm o mesmo valor: R$ 500,00.
✔ A tabela mostra o preço por cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos:

✔ Cada apostador escolheu como distribuir seu dinheiro entre cartelas com diferentes quantidades de números.
✔ Nosso foco será traduzir cada cartela em número de combinações de 6 números — porque é isso que define a chance de ganhar.

✅ PASSO 4 — Desenvolvimento de Raciocínio

Vamos calcular o total de combinações de 6 números (ou “jogos diferentes”) de cada apostador.

📌 Arthur:

• 250 cartelas com 6 números
  → Cada uma gera 1 combinação
  → Total: 250 × 1 = 250 jogos

📌 Bruno:

→ 41 cartelas com 7 números
→ Cada uma gera:

• C7,6=7 jogos

→ 41 × 7 = 287 jogos

• 4 cartelas com 6 números
  → 4 × 1 = 4 jogos

→ Total: 287 + 4 = 291 jogos

📌 Caio:

• 12 cartelas com 8 números
  → Cada uma gera:

• C8,6=8⋅7/2=28 jogos

→ 12 × 28 = 336 jogos

• 10 cartelas com 6 números
  → 10 × 1 = 10 jogos

→ Total: 336 + 10 = 346 jogos

📌 Douglas:

• 4 cartelas com 9 números
  → Cada uma gera:

• C9,6=84 jogos

→ 4 × 84 = 336 jogos

📌 Eduardo:

• 2 cartelas com 10 números
  → Cada uma gera:

• C10,6=210 jogos

→ 2 × 210 = 420 jogos

✅ PASSO 5 — Análise das Alternativas

✔ Agora organizamos os resultados:

→ Os dois com maior número de combinações são:
Eduardo (420) e Caio (346)

✅ PASSO 6 — Conclusão e Justificativa Final

Eduardo e Caio usaram suas apostas da forma mais estratégica:
✔ Eduardo apostou em cartelas com 10 números, gerando muitas combinações por cartela.
✔ Caio fez um equilíbrio inteligente entre 8 e 6 números, gerando um bom total.

Ambos maximizaram o número total de combinações de 6 dezenas, o que aumenta a chance de acertar o resultado da loteria.

✅ Gabarito confirmado: Letra A