Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é:
Resolução em Texto:
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem)
📝 Tema/Objetivo Geral:
Avaliar o impacto da ampliação do conjunto de caracteres disponíveis sobre o número total de senhas possíveis.
📊 Nível da Questão:
Fácil (pois exige apenas aplicação direta de potência e noção de comparação entre dois totais)
🎯 Gabarito:
A) 62⁶ / 10⁶
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Um banco utilizava senhas com 6 dígitos, compostas apenas por números de 0 a 9. Depois, passou a aceitar também letras maiúsculas e minúsculas, aumentando o total de caracteres possíveis.
📌 O que está sendo pedido?
A razão entre o número de senhas possíveis com o novo sistema e o número de senhas possíveis no sistema anterior, ou seja, o coeficiente de melhora.
🎯 Objetivo cristalino:
Calcular o total de senhas possíveis antes e depois da mudança, e fazer a divisão entre os dois totais.
🧩 Será que só aumentar a variedade de caracteres já torna o sistema muito mais seguro? Vamos ver exatamente quanto ele melhora!
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔢 Quando temos um número fixo de posições (como os 6 dígitos da senha), e cada posição pode receber qualquer símbolo de um conjunto, usamos o princípio fundamental da contagem.
📚 Fórmula prática:
Total de senhas = (número de opções por posição) elevado ao número de posições
📌 Antes da alteração:
- Apenas 10 opções (os algarismos de 0 a 9)
- 6 posições → 10⁶ senhas possíveis
📌 Após a alteração:
- 10 dígitos + 26 letras maiúsculas + 26 letras minúsculas = 62 caracteres disponíveis
- 6 posições → 62⁶ senhas possíveis
🛠️ O coeficiente de melhora será:
62⁶ ÷ 10⁶
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
🔍 Extraindo do enunciado:
🔸 Senhas antigas:
6 dígitos numéricos → 10 opções por dígito
Total: 10⁶
🔸 Senhas novas:
6 caracteres alfanuméricos → 62 opções por caractere
Total: 62⁶
📈 Coeficiente de melhora = novo total ÷ antigo total = 62⁶ / 10⁶
💭 Parece simples, né? Mas é justamente isso: o segredo está em saber aplicar a potência correta com o número certo de opções.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
🧮 Antes da alteração:
10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁶
🧮 Depois da alteração:
62 × 62 × 62 × 62 × 62 × 62 = 62⁶
📊 Coeficiente de melhora = 62⁶ / 10⁶
📎 Como a questão pede a expressão simbólica, não precisamos calcular os valores exatos.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
🧾 Alternativas:
A) 62⁶ / 10⁶ ✅
B) 62! / 10!
C) (62! × 4!) / (10! × 56!)
D) 62! − 10!
E) 62⁶ − 10⁶
✅ Alternativa A representa exatamente o coeficiente de melhora entre os dois sistemas.
🚫 As demais envolvem fatorial ou subtrações que não fazem sentido neste contexto. Senhas com repetição e posições fixas devem ser tratadas com potências, não com arranjos ou permutações.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
🎯 O antigo sistema permitia 10⁶ senhas. O novo, com 62 opções por posição, permite 62⁶ senhas. Comparando os dois, o coeficiente de melhora é 62⁶ dividido por 10⁶.
🧾 Resumo Final:
A quantidade de combinações cresceu exponencialmente com a inclusão das letras, tanto maiúsculas quanto minúsculas. A razão entre os dois totais de senhas é 62⁶ / 10⁶, o que garante que a resposta correta é a alternativa A.
