A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei
onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
🧠 Tema Geral: Função do 2º grau – Vértice da parábola e interseção com eixo x
📚 Matérias Necessárias:
- Funções do 2º grau
- Cálculo do discriminante (Δ)
- Interpretação geométrica do vértice
- Equações quadráticas
📈 Nível da Questão:
Médio — A interpretação da condição “vértice sobre o eixo x” exige domínio conceitual sobre raízes e vértice da parábola. O cálculo é simples, mas a lógica exige atenção.
✔️ GABARITO: Alternativa E
✅ PASSO 1 — Análise do Comando e Objetivo
📌 Comando Essencial:
“Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é:”
📌 O que está sendo pedido?
Calcular o valor da constante C, que representa a altura do líquido na taça, sabendo que o vértice da parábola está sobre o eixo x.
📌 Objetivo Cristalino:
Encontrar C tal que a parábola toque o eixo x somente no vértice, ou seja, a equação tem uma única raiz real.
📌 Dica Geral:
Quando uma parábola toca o eixo x somente no vértice, isso significa que o discriminante Δ = 0.
💬 Possíveis Armadilhas:
“Como usar a posição do vértice para achar a altura C?”
🔎 → A chave está em entender que Δ = 0 quando a parábola “encosta” no eixo x — o vértice é a única raiz!
✔ Pergunta de Atenção:
Você lembra como saber se uma parábola encosta no eixo x ou atravessa?
✅ PASSO 2 — Explicação de Conceitos e conteúdos Necessários
Vamos relembrar alguns conceitos essenciais:
📌 Função do 2º grau:
Tem a forma:
f(x) = ax² + bx + c
📌 Discriminante (Δ):
Usamos a fórmula:
Δ = b² - 4ac
Ela nos diz quantas vezes a parábola cruza o eixo x:
- Δ > 0 → 2 pontos de interseção (2 raízes reais distintas)
- Δ = 0 → 1 ponto de interseção (vértice sobre o eixo x)
- Δ < 0 → Não cruza o eixo x (raízes complexas)
📌 Vértice sobre o eixo x:
Se o vértice está exatamente sobre o eixo x, então o y do vértice é 0, ou seja:
f(vértice) = 0
Mas isso também ocorre quando:
Δ = 0
Portanto, para que a parábola encoste no eixo x apenas no vértice, usamos:
Δ = 0
✅ PASSO 3 — Tradução e Interpretação do Texto
Temos a função da parábola:
f(x) = (3/2)x² - 6x + C
Queremos determinar C, sabendo que:
- A parábola toca o eixo x apenas no vértice
- Isso equivale a: Δ = 0
Cuidado: C não é o vértice — é o valor da altura do líquido.
Nosso trabalho será:
- Calcular o discriminante Δ da função
- Igualar a zero (porque o vértice está sobre o eixo x)
- Resolver a equação resultante e encontrar CCC
✅ PASSO 4 — Desenvolvimento de Raciocínio
Temos a função:
f(x) = (3/2)x² - 6x + C
Comparando com a forma padrão ax² + bx + c, temos:
a = 3/2
b = -6
c = C
Queremos que a parábola toque o eixo x no vértice →
🔁 Isso implica que:
Δ = b² - 4ac = 0
Vamos aplicar:
Etapa 1 – Calcular o discriminante:
Δ = (-6)² - 4 · (3/2) · C
Δ = 36 - 6CEtapa 2 – Impor que Δ = 0:
36 - 6C = 0
Etapa 3 – Resolver:
6C = 36
C = 36 / 6
C = 6
✅ PASSO 5 — Análise das Alternativas
Vamos conferir:
E) 6 → ✅ Satisfaz Δ = 0, condição de vértice sobre o eixo x
A) 1 → Muito baixo ❌
B) 2 → Não satisfaz Δ = 0 ❌
C) 4 → Ainda daria Δ > 0 ❌
D) 5 → Δ ainda seria positivo ❌
✅ PASSO 6 — Conclusão e Justificativa Final
Como o vértice está sobre o eixo x, a parábola possui uma única raiz real, o que só acontece quando Δ = 0.
Ao aplicar essa condição na função dada, chegamos ao valor de:
C = 6
Portanto, a altura do líquido na taça é de 6 cm.
✅ Gabarito confirmado: Alternativa E
