Barras de cobre cilíndricas são utilizadas para fazer aterramentos elétricos.
Durante a instalação de um chuveiro, uma pessoa utilizou uma barra de aterramento de densidade ρ, massa m, diâmetro D = 2R e altura h.
Para fazer um novo aterramento, essa pessoa utilizou uma barra com a mesma densidade, mas com o dobro da massa e o dobro do diâmetro em relação à usada no chuveiro.
A densidade é dada por ρ = m/V e o volume da barra cilíndrica é V = π · R² · h.
Qual a relação da altura da barra utilizada no novo aterramento comparada àquela utilizada no aterramento do chuveiro?
A) Quarta parte.
B) Metade.
C) Igual.
D) Dobro.
E) Quádruplo.
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Física (densidade) + Matemática (geometria espacial)
📔 Nível da Questão:
- Médio, pois exige manipulação algébrica e entendimento de como variáveis geométricas influenciam na densidade e no volume.
✅ Gabarito:
- B (Metade)
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Densidade e Geometria de Sólidos (Cilindros)
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando Essencial
“Qual a relação da altura da barra utilizada no novo aterramento comparada àquela utilizada no aterramento do chuveiro?”
❓ O que está sendo pedido?
A razão Hnovo/Hchuveiro, comparando as alturas das duas barras, com densidade constante.
🎯 Objetivo Cristalino
Usar a equação da densidade para igualar os dois casos e encontrar a nova altura, sabendo que a massa dobra e o diâmetro também dobra.
💡 Dica Geral
Se o volume muda, mas a densidade continua a mesma, então o que muda deve estar compensando na equação ρ=m/V.
💬 Dúvida Comum
“Mudança no diâmetro altera a altura diretamente?”
⚠️ Não diretamente — precisamos compensar no volume para manter a densidade igual.
✔ Pergunta de Atenção
Você se lembrou que o volume de um cilindro depende do raio ao quadrado? Se o diâmetro dobra, o raio dobra — e o efeito sobre o volume é mais forte do que parece!
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
Fórmulas que usaremos:
- Densidade:
ρ=m/ V
- Volume do cilindro:
V=π⋅R^2⋅h
onde R=D/2
👉 A densidade ρ é constante, então qualquer mudança de massa precisa ser compensada pelo volume.
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação de Texto
Dados iniciais (chuveiro):
- Densidade: ρ
- Massa: m
- Diâmetro: D=2R
- Altura: h
Dados no novo aterramento:
- Densidade: igual (ρ)
- Massa: 2m
- Diâmetro: 2D=4R
- Altura: H (a ser descoberta)
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
Etapa 1 — Volume inicial (chuveiro):
- V = π · R² · h
- ρ = m / (π · R² · h)
Etapa 2 — Volume novo (aterramento):
Raio novo: Rnovo=2R
- V = π · (2R)² · H = π · 4R² · H
- ρ = 2m / (π · 4R² · H)
Etapa 3 — Igualando as densidades:
- m / (π · R² · h) = 2m / (π · 4R² · H)
✅ Simplificamos ambos os lados:
- Cancelamos m, π, R²
1 / h = 2 / (4H)
→ Multiplicando cruzado:
4H = 2h
→ H = h / 2
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas
A) Quarta parte → Errado, seria se o volume dobrasse e o raio quadruplicasse.
B) Metade → ✅ Correto! H=h/2
C) Igual → Errado, não há manutenção da altura.
D) Dobro → Errado, isso inverteria a lógica da compensação.
E) Quádruplo → Errado, equivocado por pensar em raio ao quadrado.
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A nova barra tem:
- Massa dobrada
- Diâmetro dobrado → raio dobrado → área da base quadruplicada
Para manter a mesma densidade, o volume precisa dobrar, mas como a base cresceu 4 vezes, a altura precisa ser metade da original.
✅ Gabarito: Alternativa B (Metade)
