A vazão de água (em m³ /h) em tubulações pode ser medida pelo produto da área da seção transversal por onde passa a água (em m² ) pela velocidade da água (em m/h). Uma companhia de saneamento abastece uma indústria utilizando uma tubulação cilíndrica de raio r, cuja vazão da água enche um reservatório em 4 horas. Para se adaptar às novas normas técnicas, a companhia deve duplicar o raio da tubulação, mantendo a velocidade da água e mesmo material.
Qual o tempo esperado para encher o mesmo reservatório, após a adaptação às novas normas?
A) 1 hora
B) 2 horas
C) 4 horas
D) 8 horas
E) 16 horas
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Física (Hidrodinâmica), Matemática (Geometria e Proporcionalidade)
📔 Nível da Questão:
- Fácil a médio, pois exige apenas interpretação correta da fórmula da vazão e uma análise proporcional. O conteúdo é direto, mas exige atenção ao quadruplicar da área.
✅ Gabarito:
- Letra A) 1 hora
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Hidrodinâmica – Vazão, área da seção transversal e proporcionalidade inversa entre tempo e vazão.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando Essencial:
“Qual o tempo esperado para encher o mesmo reservatório, após a adaptação às novas normas?”
❓O que está sendo pedido?
O novo tempo necessário para encher o reservatório depois que o raio da tubulação foi dobrado (duplicado).
🎯 Objetivo Cristalino
Relacionar o aumento da vazão (provocado pelo aumento do raio) com a redução do tempo necessário para encher o reservatório.
💡 Dica Geral
Quando a vazão aumenta, o tempo necessário diminui — uma relação inversamente proporcional.
💬 Dúvida Comum
“Dobrar o raio dobra a vazão?” — Não! A vazão depende da área da seção transversal, e a área de um círculo cresce com o quadrado do raio. Logo, dobrar o raio quadruplica a área — e, portanto, a vazão (mantendo a velocidade constante).
✔ Pergunta de Atenção
Se dobrarmos o raio da tubulação, a vazão dobra, triplica ou quadruplica? E o tempo, aumenta ou diminui?
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🧪 Fórmula da vazão volumétrica:
- V=A⋅v
Onde:
- V = vazão volumétrica (m³/h)
- A = área da seção transversal da tubulação (m²)
- v = velocidade do escoamento da água (m/h)
🔵 Área da seção transversal (tubulação cilíndrica):
- A=π.r²
Se o raio dobra (de r para 2r), a nova área será:
- Anova = π(2r)² = 4πr²
🔁 Conclusão: a área (e a vazão) aumenta 4 vezes!
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação de Texto
- Situação inicial: a água enche o reservatório em 4 horas.
- Mudança: raio da tubulação duplicado.
- A velocidade da água se mantém constante.
- Então: a área da seção aumenta 4 vezes, e com ela, a vazão também.
🔁 Como a quantidade de água a ser colocada no reservatório é a mesma, e a vazão é 4 vezes maior, o tempo necessário será:
- 4 vezes menor.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
🔹 Passo a passo:
Fórmula original:
- V = πr²·v
Novo raio:
- r → 2r
Nova vazão:
- V₂ = π(2r)²·v = π·4r²·v = 4·πr²·v
- ⇒ V₂ = 4·V
Como a vazão quadruplicou, o tempo divide por 4:
- t₂ = 4 ÷ 4 = 1 hora
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas
A) 1 hora ✅ Correta. A vazão quadruplicou, tempo cai 4 vezes.
B) 2 horas ❌ Seria o caso se a vazão apenas dobrasse.
C) 4 horas ❌ É o tempo original, sem mudança.
D) 8 horas ❌ Tempo maior, o que só ocorreria com redução de vazão, o oposto do enunciado.
E) 16 horas ❌ Muito maior, incoerente com o aumento da capacidade da tubulação.
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Ao dobrar o raio da tubulação, a área da seção transversal aumenta 4 vezes (por ser proporcional ao quadrado do raio), e com isso a vazão também quadruplica. Como o volume do reservatório é o mesmo, o tempo necessário para enchê-lo será quatro vezes menor, passando de 4 horas para 1 hora.
✅ Alternativa correta: Letra A
