Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos.
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é
A) 23,7%
B) 30,0%
C) 44,1%
D) 65,7%
E) 90,0%
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Probabilidade (Eventos Complementares e Independência)
Nível da Questão: Fácil
✅ Gabarito: D) 65,7%
🎯 Objetivo Geral: Calcular a probabilidade de que, em um grupo de três alunos independentes, pelo menos um compreenda e fale inglês.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial (📌)
“A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é ___.”
1.2 O que está sendo pedido? (📌)
Determinar a probabilidade de que ao menos um dos três alunos fale inglês, para que a pergunta em inglês seja compreendida.
1.3 Objetivo Cristalino (📌)
Calcular P(“pelo menos 1 aluno fala inglês”) sabendo que cada aluno, isoladamente, tem probabilidade de 30% de falar inglês, de forma independente.
1.4 Pergunta de Atenção (✔)
Você lembraria que é mais fácil usar o evento complementar (“nenhum fala inglês”) e subtrair de 1 para obter “pelo menos um fala”?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas (📌)
- Probabilidade de um aluno falar inglês:
P(“falar”) = 0,30
P(“não falar”) = 1 − 0,30 = 0,70 - Independência: A chance de cada aluno falar ou não fala inglês não afeta a dos outros.
- Evento complementar:
– Se AA = “pelo menos um fala inglês”,
então AcA^c = “nenhum fala inglês”.
– P(A) = 1 − P(A^c). - Para 3 alunos independentes:
P(A^c) = P(“aluno1 não fala”) · P(“aluno2 não fala”) · P(“aluno3 não fala”).
2.2 Dúvida Comum e Resposta (❓✔)
“Preciso somar as probabilidades de cada um falar?”
✔ Não: quando se pede “ao menos um” em vários eventos independentes, é mais direto calcular “nenhum” e usar o complementar.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada (📌)
Temos três alunos, cada um com 30% de chance de falar inglês. O entrevistador fará uma pergunta em inglês a todos ao mesmo tempo; basta que pelo menos um entenda e responda em inglês para que o exame continue.
3.2 Estratégia Geral (📌)
- Calcular a probabilidade de nenhum dos três falar inglês:
Pₙenhum = 0,70 · 0,70 · 0,70. - Subtrair esse resultado de 1 para obter a probabilidade de pelo menos um falar:
PₐoMenosUm = 1 − Pₙenhum.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado (📌)
- Probabilidade de um aluno não falar inglês:
P(“não falar”) = 0,70 - Probabilidade de nenhum dos 3 falar (independência):
Pₙenhum = 0,70 · 0,70 · 0,70
Pₙenhum = 0,70 · 0,70 = 0,49
Pₙenhum = 0,49 · 0,70 = 0,343
Ou seja, 34,3% de chance de nenhum falar. - Probabilidade de pelo menos 1 falar:
PₐoMenosUm = 1 − Pₙenhum
PₐoMenosUm = 1 − 0,343
PₐoMenosUm = 0,657
Convertendo em porcentagem: 65,7%.
4.2 Verificação Intermediária (📌)
- O evento “nenhum fala” ocupa 34,3%.
- Portanto, “pelo menos um fala” ocupa o restante, 100% − 34,3% = 65,7%.
Passo 5: Análise das Alternativas
A) 23,7% ❌
- Corresponderia a calcular Pₙenhum de 0,70 · 0,70 = 49% ou usar combos errados; não bate.
B) 30,0% ❌
- É apenas a probabilidade de um aluno isoladamente falar; não serve para “pelo menos um em três”.
C) 44,1% ❌
- Esse valor seria 1 − (0,70²) = 1 − 0,49 = 0,51 = 51% ou combinações incorretas; não confere.
D) 65,7% ✅
- Obtido corretamente via 1 − 0,343 = 0,657.
E) 90,0% ❌
- Confunde com probabilidade de “pelo menos um em dois” (1 − 0,70² = 51%) ou “pelo menos dois em três” (?); não condiz com cálculo.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio (📌)
Calculamos a probabilidade de nenhum dos três alunos falar inglês: 0,70³ = 0,343. Logo, a probabilidade de pelo menos um falar é 1 − 0,343 = 0,657 ou 65,7%.
6.2 Gabarito Reafirmado (📌)
✅ Alternativa D) 65,7%
6.3 Resumo Final para Revisão (🔍)
Para “pelo menos um” entre eventos independentes, use o complementar: P(ao menos um) = 1 − P(nenhum).
