Num campeonato de futebol de 2012, um time sagrou-se campeão com um total de 77 pontos (P) em 38 jogos, tendo 22 vitórias (V), 11 empates (E) e 5 derrotas (D). No critério adotado para esse ano, somente as vitórias e empates têm pontuações positivas e inteiras. As derrotas têm valor zero e o valor de cada vitória é maior que o valor de cada empate.
Um torcedor, considerando a fórmula da soma de pontos injusta, propôs aos organizadores do campeonato que, para o ano de 2013, o time derrotado em cada partida perca 2 pontos, privilegiando os times que perdem menos ao longo do campeonato. Cada vitória e cada empate continuariam com a mesma pontuação de 2012.
Qual a expressão que fornece a quantidade de pontos (P), em função do número de vitórias (V), do número de empates (E) e do número de derrotas (D), no sistema de pontuação proposto pelo torcedor para o ano de 2013?
A) P = 3V + E
B) P = 3V – 2D
C) P = 3V + E – D
D) P = 3V + E – 2D
E) P = 3V + E + 2D
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Álgebra (equações)
- Interpretação de texto matemático
- Resolução de sistema simples
- Modelagem com variáveis (V, E, D)
📔 Nível da Questão:
Intermediário, pois envolve interpretação de regras + resolução de equação linear e substituição em um novo sistema.
✅ Gabarito:
- Letra D
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Modelagem algébrica com sistema de pontuação (Futebol)
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1️⃣ Comando Essencial:
“Qual a expressão que fornece a quantidade de pontos (P), em função do número de vitórias (V), empates (E) e derrotas (D)…?”
2️⃣ O que está sendo pedido?
A fórmula algébrica que calcula os pontos totais em função do novo sistema: 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate, e –2 pontos por derrota.
3️⃣ Objetivo Cristalino:
Reproduzir corretamente a fórmula da pontuação adaptada com penalidade pelas derrotas:
P = 3V + E – 2D
4️⃣ Dica Geral:
A questão começa com a fórmula implícita original (sem derrotas) e propõe um ajuste no sistema, o que exige entender o peso de cada tipo de resultado.
5️⃣ ✔ Pergunta de Atenção:
Você já se perguntou como as fórmulas de campeonatos seriam diferentes se as derrotas contassem negativamente? Que impacto isso teria?
6️⃣ 💬 Dúvida Comum:
Muitos alunos tentam apenas montar a equação direto, mas se esquecem de verificar qual era a pontuação padrão para vitórias e empates antes de modificar com as derrotas.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🧩 1. Sistema de pontos tradicional (2012):
- O time teve:
• 22 vitórias
• 11 empates
• 5 derrotas - Total de pontos (P): 77
Mas as derrotas não somam pontos, então:
- P = a·V + b·E
Sabemos:
- 22a + 11b = 77
Queremos descobrir os valores de a e b (respectivamente pontos por vitória e empate).
🧩 2. Pontuação ajustada (2013):
- Mesmas regras para vitórias e empates
- Mas agora cada derrota tira 2 pontos do total
→ Pontos por derrota: –2
Queremos montar uma função do tipo:
- P = 3V + E – 2D
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação de Texto
A equação com os dados do campeão:
- 22a + 11b = 77
Vamos dividir ambos os lados por 11:
- 2a + b = 7
Tente valores simples para testar:
- Se a = 3, então: 2·3 + b = 7 → b = 1
✅ Faz sentido! Então:
a = 3 (vitória vale 3 pontos)
b = 1 (empate vale 1 ponto)
🔷 Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio
Agora com os novos critérios para 2013:
- Vitórias: 3 pontos
- Empates: 1 ponto
- Derrotas: –2 pontos
Logo, a função final é:
- P = 3V + E – 2D
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas
A) P = 3V + E → ❌ ignora as derrotas
B) P = 3V – 2D → ❌ ignora os empates
C) P = 3V + E – D → ❌ penaliza pouco as derrotas
D) P = 3V + E – 2D → ✅ Correta
E) P = 3V + E + 2D → ❌ recompensa derrotas (!)
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
O novo sistema de pontuação proposto penaliza os times por derrotas, dando:
- 3 pontos por vitória
- 1 ponto por empate
- –2 pontos por derrota
Isso nos leva à função final:
- P = 3V + E – 2D
✅ Gabarito: Letra D
