Um artesão fabrica vários tipos de potes cilíndricos. Mostrou a um cliente um pote de raio de base a e altura b. Esse cliente, por sua vez, quer comprar um pote com o dobro do volume do pote apresentado. O artesão diz que possui potes com as seguintes dimensões:
• Pote I: raio a e altura 2b
• Pote II: raio 2a e altura b
• Pote III: raio 2a e altura 2b
• Pote IV: raio 4a e altura b
• Pote V: raio 4a e altura 2b
O pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria espacial
- Fórmula do volume do cilindro
- Proporcionalidade
- Análise algébrica simbólica
📔 Nível da Questão:
- Média – Envolve o uso da fórmula do volume e manipulação algébrica simbólica para comparação de volumes entre diferentes combinações de raio e altura.
✅ Gabarito:
- Letra A
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Volume de cilindros e proporcionalidade de dimensões
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1️⃣ Comando Essencial:
“O pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o”
2️⃣ O que está sendo pedido?
Identificar qual dos potes fornecidos tem o dobro do volume do pote original.
3️⃣ Objetivo Cristalino:
Aplicar a fórmula do volume do cilindro e verificar qual combinação de raio e altura gera um volume exatamente 2 vezes maior que o pote inicial.
4️⃣ Dica Geral:
A fórmula do volume de cilindro depende do quadrado do raio e da altura. Mudar o raio impacta mais que mudar a altura.
5️⃣ ✔ Pergunta de Atenção:
Você já percebeu que aumentar o raio afeta mais o volume do cilindro que aumentar a altura? Isso acontece por causa da potência ao quadrado!
6️⃣ 💬 Dúvida Comum:
Muitos alunos pensam que dobrar o raio ou a altura sempre dobra o volume. Mas no cilindro, o raio é elevado ao quadrado, o que muda tudo!
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
Fórmula do volume de um cilindro:V = π · r² · h, onde:r = raio da baseh = altura
Se queremos dobrar o volume, devemos resolver:π · r² · h = 2 · π · a² · b
(considerando que o volume original é com raio a e altura b)
Podemos manter uma variável e ajustar a outra para satisfazer a equação. O objetivo é verificar qual pote apresenta essa duplicação de volume.
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Pote original:
- Raio = a
- Altura = b
- Volume =
V₀ = π · a² · b
Queremos um pote com:
- Volume =
2 · V₀ = 2 · π · a² · b
Vamos analisar cada pote e verificar se seu volume dá 2 · π · a² · b
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
🔹 Pote I: raio = a, altura = 2b
→ Volume = π · a² · 2b = 2π · a² · b → ✅ Serve!
🔹 Pote II: raio = 2a, altura = b
→ Volume = π · (2a)² · b = π · 4a² · b = 4π · a² · b → ❌ (4x maior)
🔹 Pote III: raio = 2a, altura = 2b
→ Volume = π · (2a)² · 2b = π · 4a² · 2b = 8π · a² · b → ❌ (8x maior)
🔹 Pote IV: raio = 4a, altura = b
→ Volume = π · (4a)² · b = π · 16a² · b → ❌ (16x maior)
🔹 Pote V: raio = 4a, altura = 2b
→ Volume = π · 16a² · 2b = 32π · a² · b → ❌ (32x maior)
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) I → ✅ Volume = 2π · a² · b → Correto
B) II → ❌ Volume = 4π · a² · b
C) III → ❌ Volume = 8π · a² · b
D) IV → ❌ Volume = 16π · a² · b
E) V → ❌ Volume = 32π · a² · b
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
✅ O cliente deseja um pote com o dobro do volume do original, que tem V = π · a² · b
A única alternativa que fornece V = 2π · a² · b é a Alternativa A, com raio a e altura 2b.
✅ Gabarito: Letra A
