Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log (x), conforme a figura.
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Funções Logarítmicas, Sistemas de Equações
Nível da Questão: Difícil (ENEM)
✅ Gabarito: E) 2 log ((n + √(n² + 4)) / 2)
🎯 Objetivo Geral: Expressar a altura h do vidro em função de seu comprimento n, usando a curva y = log(x) que atravessa os pontos (x₁, –h/2) e (x₂, +h/2) separados por x₂ – x₁ = n.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Retomar o Comando
“Determinada uma expressão para a altura h em função de n, qual é essa expressão?”
1.2 O que está sendo pedido?
Encontrar a fórmula fechada h(n) que relaciona a distância horizontal n à altura total h, usando a curva y = log(x).
1.3 Objetivo Cristalino
- Traduzir a condição log(x₁) = –h/2 e log(x₂) = +h/2 em termos de exponenciais.
- Usar x₂ – x₁ = n para montar uma equação em E = e^(h/2).
- Resolver para obter h como função de n.
🔹 Passo 2: Conceitos e Conteúdos Necessários
- Transformação log → exp:
- log(x) = y ⇔ x = eʸ
- Sistema de Equações:
- x₁ = e^(–h/2)
- x₂ = e^(+h/2)
- x₂ – x₁ = n
🔹 Passo 3: Montagem do Sistema em Exponenciais
- x₁ = e^(–h/2)
- x₂ = e^(+h/2)
- e^(+h/2) – e^(–h/2) = n
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- Defina E = e^(h/2). Então e^(–h/2) = 1/E.
- A equação torna-se:
E – (1/E) = n - Multiplique ambos os lados por E:
E² – 1 = n E - Rearranje em forma de quadrática:
E² – n E – 1 = 0 - Resolva por Bhaskara (só consideramos a raiz positiva):
E = (n + √(n² + 4)) / 2 - Volte a h/2:
e^(h/2) = (n + √(n² + 4)) / 2
⇒ h/2 = log((n + √(n² + 4)) / 2) - Multiplique por 2 para isolar h:
h = 2 · log((n + √(n² + 4)) / 2)
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas
A) log((n + √(n²+4))/2) – log((n – √(n²+4))/2)
- Equivale a log de um quociente, não dá o fator 2 fora do log. ❌
B) log(1 + n/2) – log(1 – n/2)
- Não envolve √(n²+4). ❌
C) log(1 + n/2) + log(1 – n/2)
- Soma equivale a log(1 – (n²/4)). ❌
D) log((n + √(n²+4)) / 2)
- Falta o fator 2 multiplicando o log. ❌
E) 2 log((n + √(n²+4)) / 2)
- Correta, corresponde exatamente a h. ✅
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Transformamos as condições em exponenciais, definimos E = e^(h/2), montamos e resolvemos a quadrática, e voltamos a h usando log.
6.2 Alternativa Correta
✅ E) 2 log((n + √(n² + 4)) / 2)
6.3 🔍 Resumo Final
Para curvas simétricas definidas por y = log(x), passe pelo sistema exponencial, resolva em e^(h/2), depois use h = 2 log(…).
