Para uma alimentação saudável, recomenda-se ingerir, em relação ao total de calorias diárias, 60% de carboidratos, 10% de proteínas e 30% de gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a visualização dessas porcentagens, quer dispor esses dados em um polígono. Ela pode fazer isso em um triângulo equilátero, um losango, um pentágono regular, um hexágono regular ou um octógono regular, desde que o polígono seja dividido em regiões cujas áreas sejam proporcionais às porcentagens mencionadas. Ela desenhou as seguintes figuras:
Entre esses polígonos, o único que satisfaz as condições necessárias para representar a ingestão correta de diferentes tipos de alimentos é o
A) triângulo.
B) losango.
C) pentágono.
D) hexágono.
E) octógono.
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Geometria – Polígonos Regulares e Áreas Proporcionais
Nível da Questão: Médio (ENEM)
✅ Gabarito: C) Pentágono
🎯 Tema/Objetivo Geral: Escolher o polígono que possa ser subdividido em regiões cujas áreas sejam exatamente 60%, 10% e 30% de sua área total.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Retomar o Comando
📌 “Entre esses polígonos, o único que satisfaz as condições necessárias para representar a ingestão correta… é o ____.”
1.2 O que está sendo pedido?
📌 Identificar qual dos cinco polígonos pode ser dividido em três regiões cujas áreas sejam, respectivamente, 60%, 10% e 30% do total.
1.3 Objetivo Cristalino
📌 Encontrar um polígono regular em que sua área possa ser particionada em frações inteiras ou meias frações de seus “fatias iguais” de área, de modo a obter exatamente 60%, 10% e 30%.
1.4 Itens Importantes
📌
- Polígonos disponíveis: triângulo (3 lados), losango (4), pentágono (5), hexágono (6), octógono (8).
- Quero dividir cada um em “fatias” de mesma área e depois agrupá-las (ou cortá-las ao meio) para chegar a 60%, 10% e 30%.
🔹 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
📌 Subdivisão de um polígono regular em triângulos congruentes
- Um polígono regular de n lados pode ser particionado em n triângulos de mesma área, todos vindos de um vértice ao centro.
📌 Proporção de áreas
- Se cada triângulo representa 1/n da área, então agrupar k triângulos dá k/n do total.
- Metade de um desses triângulos dá 1/(2n) do total.
❓ Dúvida Comum
“Por que preciso de frações inteiras ou de meia fração?”
✔ Para obter exatamente 10% (que é 0,1) e 30% (0,3), precisamos que 1/n = 0,2 (20%), pois então:
• 60% = 3×20%
• 10% = ½×20%
• 30% = 1½×20%
🔹 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
- Cada polígono regular de n lados pode ser dividido em n triângulos congruentes (cada um vale 1/n da área).
- Precisamos que 1/n = 20% = 0,2, para que 3×0,2 = 0,6 (60%), ½×0,2 = 0,1 (10%) e 1½×0,2 = 0,3 (30%).
- Logo, n deve satisfazer 1/n = 0,2 ⇒ n = 5.
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
- Teste rápido de valores de n:
- n=3 (33,3% cada fatia) → não há meia‐fatia de 33,3% = 16,7%
- n=4 (25% cada) → não há 10% nem 30% com frações de 25%
- n=5 (20% cada):
• 60% = 3 fatias → 3×20%
• 10% = ½ fatia → 0,5×20%
• 30% = 1½ fatia → 1,5×20% - n=6 (16,7% cada) → 10% não é múltiplo inteiro ou meio de 16,7%
- n=8 (12,5% cada) → 30% = 2,4×12,5% não é inteiro nem meio‐inteiro
- Conclusão: só o pentágono (n=5) permite montar exatamente 60%, 10% e 30% a partir de fatias de 20%.
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas
A) Triângulo (n=3)
- Fatias de 33,3%; não conseguimos 10% nem 30%. ❌
B) Losango (n=4)
- Fatias de 25%; não conseguimos 10% exatos. ❌
C) Pentágono (n=5)
- Fatias de 20%; 3×20% = 60%, ½×20% = 10%, 1½×20% = 30%. ✅
D) Hexágono (n=6)
- Fatias de ≈16,7%; não há como obter 10% com meio‐fatia (8,3%). ❌
E) Octógono (n=8)
- Fatias de 12,5%; 10% não é múltiplo de 6,25%. ❌
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
📌 Só o pentágono regular gerado em 5 triângulos de 20% cada permite agrupar 3 (60%), usar meia fatia (10%) e uma fatia e meia (30%).
6.2 Alternativa Correta
✅ C) Pentágono
6.3 🔍 Resumo Final
Para representar percentuais que sejam múltiplos inteiros e meias‐frações de uma unidade básica de área, use o polígono cujo número de lados n satisfaça 1/n = fração básica desejada. Aqui, 1/5 = 20%.
